Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi
MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR
Download 0.82 Mb.
|
algebra va sonlar nazariyasi
- Bu sahifa navigatsiya:
- 21- MAROZA
- MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR
MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR
1. n - tartibli D determinantni i - satr elementlari bo'yicha yoyish formulasini yozing. 2. n - tartibli D determinantni j - ustun elementlari bo'yicha yoyish formulasini yozing. 3. Agar n - tartibli determinantdagi biror satr elementlarini boshqa bir satrining algebraik to'ldiruvchilariga mos ravishda ko'paytirib hosil bo'lgan ko'paytmalarni qo'shsak yig'indi nimaga teng bo'ladi? 4. Agar n-tartibli determinantdagi biror satr elementlarini ularga mos algebraik to'ldiruvchilarga ko'paytirib hosil bo'lgan ko'paytmalarni kushsak yig'indi nimaga teng bo'ladi? 5. Kramer formulasini yozing. 6. Agar Kramer formulasi xj = Dj / D da D = 0 bo'lib qolsa qanday holat yuz beradi? 7. xj = Dj / D Kramer formulasidagi Dj va D lar qanday bog'langan ?
orasidagi bog'lanish. 2. Matrisalar ko'paytmasining determinanti. 3. Misollar. (Determinantlarni hisoblash). ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3]
a11 a12 ... a1r a1,r+1 ... a1n a21 a22 ... a2r a2, r+1 ... a2n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ar1 ar2 ... ar r ar, r+1 . .. arn ar+1,1 ar+1,2 ... ar+1,r ar+1,r+1 ... ar+1,n - - - - - - - - - - - - - - - - - am1 am2 ... am r am, r+1 ... am,n Aks holda A ning satr va ustunlarining o'rinlarini o'zaro almashtirib shu xolga olib kelish mumkin. Bu bilan uning rangi o'zgarmaydi. A ning s- satri (s=r =1, 2, 3 , ... , m) birinchi r ta satrlar orqali chiziqli ifodalanadi.Ushbu (r+1)- tartibli determinant i ni qaraymiz: a11 a12 ... a1r i = a21 a22 ... a2r
Bu yerda i= 1, 2, . . . , n; s = r+1, r+2, . . . , m. Barcha i= 1, 2, . . . , n lar uchun i = 0, chunki i r da i da ikkita bir xil ustun mavjud bo'ladi. r+1 i da esa i A ning (r+1) - tartibli minorini ifodalaydi, shuning uchun ham i =0 . i ni oxirgi ustun elementlari bo'yicha yoysak a1i A1i + a2i A2i + ... + ari Ari + as i As i = 0 , (1) Bunda A =(-1)r+1+r+1 M =M=0 bo'lgani uchun (1) ni as i ga nisbatan yechsak as i =1 i a1 i + 2 i a2 i + . . . + r i ar i , (i= 1, 2, . . . , n; s = r+1, r+2, . . . , m) ga ega bo'lamiz. Bundan ko'rinadiki A ning s-catri birinchi r ta satrlari orqali chiziqli ifodalanadi. Demak, A matrisaning rangi (satrlar bo'yicha rangi) r ga teng. Natija. Determinantning nolga teng bo'lishi uchun uning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'langan bo'lishi zarur va yetarlidir. Misol . 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 A= 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 0 1 0 1 matrisaning rangini hisoblang. Avvalo shuni ta'kidlash kerakki, matrisaning rangini minorlardan foydalanib hisoblashda faqat birbirining ichiga joylashgan minorlarini tekshirish kifoya. Bizning misolimizda М1 =1 0
1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 0 0 1 0 1 1 -1
ya'ni bu holda teorema o'rinli. 2-teoremani isbotlashdan oldin ushbu lemmani isbotlaymiz.
A’ В = A’ В (2) dan A’’ В = A’’ В (3) kelib chiqadi. Isboti. Faraz etaylik A’’ matrisa A’ matrisadan quyidagi elementar almashtirishlarning biri orqali hosil qilingan bo'lsin: a) catrlarining o'rinlarini almashtirish; b) ixtiyoriy satrini noldan farqli k coniga ko'paytirish; c) biror satrini ixtiyoriy songa ko'paytirib ikkinchi bir satriga qo'shish. Matrisalarni ko'paytirish qoidasiga asosan A’’ В matrisa A’ В matrisadan mos elementar almashtirish natijasida hosil bo'ladi. a) bajarilgan bo'lsa, A’’ = - A’ va A’’В =-A’B; (4) b) bajarilgan bo'lsa, A’’ = k A’ , A’’ В =k A’ B ; (5) v) bajarilgan bo'lsa, u holda A’’ = A’ , A’’ В = A’-B (6) (4) , (5) va (6) dan (2) ga asosan (3) kelib chiqadi. Haqiqatan ham,
(5) va (2) dan esa A’’ В = k A’ B = k A’ В = A’’ В ; (4) ва (2) dan A’’ В = A’-B = A’ В = A’ В . Shu bilan lemma to'la isbot bo'ldi. Agar A matrisa a), б), с) elementar almashtirishlar yordamida E birlik matrisadan hosil qilingan bo'lsa, lemmaga asosan E В = E В dan A В = A В kelib chiqadi. Bunda A 0, ya'ni A- xosmas matrisa. A = 0 bo'lsa, u holda AB matrisaning satrlari ham chiziqli bog'langan bo'ladi, ya'ni A В = 0 va A В = A В tenglik bajariladi. 3. Determinantlarni hisoblash. 1- misol. Ushbu D determinantda x qatnashgan hadning koeffisiyentini hisoblang: 1 2 0 x Determinantni oxirgi ustun elementlari bo'yicha yoysak D = 0 1 1 y faqat 1-satr , 4- ustunini uchirganda x qatnashadi. Shu- 1 -1 0 z ning uchun ham x qatnashgan hadning koeffisiyenti ku- 1 1 1 t yidagiga teng bo'ladi: 0 1 1 1 -1 0 = 1+1-1 =1 . 1 1 1 2 - misol . Ushbu Vandermond determinantining qiymati ni hisoblang: 1 a1 a12 a13 . . . a1n-1 1 a2 a22 a23 . . . a2n-1 Vn = ..................................... 1 an an2 an3 . . . ann-1 . Buning uchun Vn ning har bir ustunini (-a1) ko'paytirib o'zidan oldingisiga kushamiz. U holda 1 0 0 . . . 0 1 a2 - a1 a2 (a2 - a1) . . . a2n-2 ( a2 - a1) Vn= 1 a3 - a1 a3 (a3 - a1) . . . a3n-2 ( a3 - a1) =(a2 - a1) (a3 - a1)...(an - a1) ........................................................................ 1 an - a1 an (an - a1) . . . ann-2 ( an - a1) 1 a2 a22 a23 . . . a2n-2 1 a2 a32 a33 . . . a3n-2 ..................................... =(a2 - a1) (a3 - a1)...(an - a1) Vn-1 = . . . = 1 an an2 an3 . . . ann-2 =(a2 - a1) (a3 - a1)...(an - a1) (a3 - a2) (a4 - a2)...(an - a2) ...(an - an-1 )= n = (ai-aj). i> j 3-misol. Ushbu determinantni uchburchak ko'rinishga keltirib hisoblang: a-x a a . . . a a a-x a . . . a D = a a a-x . .. a .......................... a a a . . . a-x . Oxirgi ustunini (-1) ga ko'paytirib barcha ustunlariga kushib chiqamiz: -x 0 0 . . . a
Endi barcha satrlarini oxirgi satriga kushamiz: -x 0 . . . a 0 -x . . . a D = ...................... =(-x)n-1 (na- x). 0 0 . . . na-x 4- misol.Berilgan D determinantni chiziqli ko'paytuvchilarini ajratish usuli bilan hisoblang: 1 x1 x2 . . . xn 1 x x2 . . . xn D= 1 x1 x . . . xn (1) .......................... 1 x1 x2 . . . x . D ning yoyilmasi n-darajali ko'phad bo'lib u x=x1, x2 , . . . , xn da nolga aylanadi. Shuning uchun ham D= c (x - x1) (x - x2) ... (x - xn) (2) deb olsak bo'ladi. Endi noma'lum koeffisiyent s ni aniqlaymiz. (1) ning boshhadi xn-1, demak с=1. Shunday qilib
-1 o o ... o o x -1 o ... o o Dn+1 = (-1)n+2 an o x -1 ... o o + x Dn = an (-1)n+2+n +x Dn = - - - - - - - - - - - - - o o o ... x -1 = an + x( an-1+x Dn-1 )= an + an-1x + x2 Dn-1 . Bu yerda a0 -1 D2 = a1 x = a0 x+ a1 , D1 =a0 . Shuning uchun ham Dn+1= a0 xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x + an . MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR. 1. Matrisaning rangi nimaga teng ? 2. Matrisalar ko'paytmasining determinanti haqidagi teoremani ayting. 3. n (n>3) tartibli determinantlarni hisoblash usullari haqida gapirib bering. 22 - MA'RO'ZA MAVZU : TESKARI MATRISA REJA: 1. Determinantlarni ko'paytirish. 2. Teskarilanuvchi matrisalar . 3. Teskari matrisani hisoblash usullari. 4. Chiziqli tenglamalar sistemasini matrisaviy ko'rinishda yozish va yechish. 5. Misollar. ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3]
a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n D1 = a21 a22 ... a2n va D2 = b21 b22 ... b2n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - an1 an2 ... ann bn1 bn2 ... bnn determinantlarning ko'paytmasini yana n- tartibli determinant с11 с12 ... с1n D = c21 c22 ... с2n - - - - - - - - - - cn1 cn2 ... cnn shaklida ifodalash mumkin bo'lib, bunda сi j element D1 dagi i - satr elementlari ai1 , ai2 , . . . , ain larni D2 dagi j - ustun elementlari b1 j ,b2j , . . . ,bnj ga mos ravishda ko'paytirib natijani qo'shish bilan hosil qilinadi, ya'ni
a11 a12 . . . a1n 0 0 . . . 0 a21 a22 . . . a2n 0 0 . . . 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ?? an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 0 -1 0 . . . 0 b11 b12 . . . b1n 0 -1 . . . 0 b21 b22 . . . b2n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 0 . . . -1 bn1 bn2 . . . bnn . Agar ? da birinchi ta satrini ajratib n - tartibli minorlar tuzsak faqat birtasi D1 ga teng, qolganlari esa nolga teng bo'ladi. D1 ning algebraik to'ldiruvchisi D2 ga teng bo'ladi . Demak, =D1 D2 (2) Endi dagi 1- ustunni b11 ga 2 - ustunni b21 ga , . . . , n - ustunni bn1 ga ko'paytirib n+1- ustuniga qo'shamiz. So'ngra 1- ustunni b12 ga , 2- ustunini b22 ga va x.k. n - ustunini bn 2 ga ko'paytirib n+2 - ustuniga qo'shamiz va x.k. davom etib 1- ustunini
a11 a12 . . . a1n с11 с12 . . . с1n a21 a22 . . . a2n с21 с22 . . . с2n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - an1 an2 . . . ann сn1 сn2 . . . сn n -1 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 -1 . . . 0 0 0 . . . 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 0 . . . -1 0 0 . . . 0 . Agar ning oxirgi n ta satrini ajratib shu satrlardagi n-artibli minorlar bo'yicha yoysak = МА ga ega bo'lamiz. (Chunki faqat -1 0 . . . 0 М= 0 -1 . . . 0 = ( -1)n 0 bo'lib qolgan barcha n- tartibli minorlar - - - - - - - - - nolga teng). 0 0 . . . 0 Bu yerda A= (-1)(n+1)+(n+2)+ . . . +2n +1+2+ . . . + n D= (-1) n+2(1+2+ . . . + n ) D= (-1) n D. = ( -1)n ( -1)n D =( -1)2nD =D . (3) Demak, (2) va (3) dan D1D2= D. Determinantlarni transponirlasak uning qiymati o'zgarmagani uchun determinantlarni ko'paytirish uchun ham hozirgi ko'rib o'tilgan “ satrlarini ustunlariga“, bo'yicha qoidasidan tashqari “satrlarini satrlariga”, “ustunlarini satrlariga”, ”ustunlarini ustunlariga ” qoidalarini qullash mumkin. Natija. A va В kvadrat matrisalar ko'paytmasining determinanti shu matrisalar determinantlarining ko'paytmasiga teng. det (A B)=detA detB . (4) Umuman A1 A2 Ak = А1 A2 Ak ; A k = Ak . 2. Teskari matrisa . Faraz etaylik F maydonda n-tartibli A matrisa berilgan bo'lsin. Agar А В = В А=Е (1) shartni qanoatlantiruvchi В n - tartibli kvadrat matrisa mavjud bo'lsa, bu matrisaga A ga teskari matrisa deyiladi, o'z navbatida A ham В ga teskari matrisa bo'ladi . (1) dan det (A B) = detA detB = detЕ=1 bo'lgani uchun detA 0 va detB 0 degan xulosaga kelamiz, yani faqat xosmas matrisalar uchun teskarisi mavjud bo'lar ekan . Bundan keyin A ga teskari matrisani А-1 bilan belgilaymiz. Berilgan matrisaga teskari matrisani topishning 2 xil usuli bor: 1). Determinantlardan foydalanib ; 2). Matrisadagi elementar almashtirishlardan foydalanib topish . Avvalo 1- usulni qarab chikaylik . Faraz etaylik
a11 a12 ... a1n A = a21 a22 ... a2n - - - - - - - - - an1 an2 ... ann matrisa berilgan bo'lsin. U holda A11 A21 . . . An1 1 A12 A22 . . . An 2 A-1 = - - - - - - - - - - - - det A A1n A2n . . . An n matrisa A ga teskari matrisa bo'ladi. Bu yerdagi Aij A matrisadagi aij elementning algebraik to'ldiruvchisi. Haqiqatan ham a11A11+a12 A12 + ... +a1n A1n a11A21+a12 A22 + ... + a1n A2n . . . 1 a21A11+a22 A12 + ... +a2n A1n a21A21+a22 A22 + ... + a2nA2n . . . AA-1= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - detA an1A11+an2 A12+ ... + ann A1n an1A21+a21 A22 + ... + ann A2n . . . . . . a11 An1+a12 An2 + ... + a1n Ann D 0 . . . 0 1 0 . . . 0 . . . a21 An1+a22 An2 + ... + a2n Ann 1 0 D . . . 0 0 1 . . . 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = - - - - - - - = - - - - - - - = E . . . . an1An1+ an2 An2+ ... + ann Ann D 0 0 . . . D 0 0 . . . 1 М и с о л . Berilgan A matrisaga teskari matrisani hisoblang. 2 -3 2 A= - 4 -2 5 5 1 - 6
-2 5 - 4 5 A11=(-1)1+1 1 -6 = 12 - 5 = 7 ; А12= - 5 -6 = - 24 + 25 = 1 ; - 4 -2 -3 -2 A13 = 5 1 =- 4 + 10 = 6 ; A21 = - 5 -6 = -(18 + 2)= -20 ; 2 -2 2 -3 A22= 5 -6 = - 12 + 10 = - 2 ; A23= - 5 1 = - ( 2 + 15)= -17 ; -3 -2 2 -2 A31= -2 5 = -15 - 4 = -19 ; A32= - - 4 5 = - 10 + 8 = - 2 ; 2 -3 A33= - 4 -2 = - 4 - 12 = -16 ; A = 24 + 8 - 75 - 20 + 72 - 10 = - 1 ; Demak, -7 20 19 A-1= -1 2 2 -6 17 16 . Tekshirish: - 14+3+12 40 - 6 - 34 0 1 0 0
Shunday qilib -7 20 19 A-1= -1 2 2 -6 17 16 . 4.Chiziqli tenglamalar sistemasini matrisaviy ko'rinishda yozish va uni yechish. F maydondagi nxn- chiziqli tenglamalar sistemasi a11 x1 + a12 x2 + ... + a1j xj + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2j xj + ... + a2n xn = b2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1) an1 x1 + an2 x2 + ... + anj xj + ... + ann xn = bn berilgan bo'lsin. Agar (1) ning asosiy matrisasini A, no'ma'lumlar ustunini X va ozod hadlar ustunini b bilan belgilasak, ya'ni a11 a12 ... a1n x1 b1 A = a21 a22 ... a2n x2 b2 - - - - - - - - - , X = ... , b = ... an1 an2 ... ann xn bn deb belgilab olsak, (1) ni quyidagicha yoza olamiz: AX = b . (2) Bo'nga (1)-chiziqli tenglamalar sistemasining matrisaviy ko'rinishda yozilishi deyiladi. Agar detA 0 bo'lsa , u holda A ga teskari А-1 matrisa mavjud bo'ladi va A-1AX = A-1 b yoki (A-1A)X = A-1 b, bu yerda A-1A = E va EX =X bo'lgani uchun
tenglikka ega bo'lamiz. M i s o l . Ushbu tenglamalar sistemasini matrisaviy ko'rinishda yozing va yeching: x1 - x2 +2x3 =2 1 -2 2 x1 b1 3x1 -3x2 +7x3 =9 A= 3 -3 7 X= x2 b= b2 2x1 -3x2 +5x3 =2 . 2 -3 5 , x3 , b3 deb olsak АХ=b hosil bo'ladi. Endi A-1 ni topaylik. 1 -1 2 1 0 0 1 -1 2 1 0 0 1 0 1 3 0 -1 3 -3 7 0 1 0 ~ 0 0 -1 3 -1 0 ~ 0 1 0 -1 1 -1 ~ 2 -3 5 0 0 1 0 1 -1 2 0 -1 0 1 -1 2 0 -1 1 0 1 3 0 -1 1 0 0 6 -1 -1 6 -1 -1 ~ 0 1 0 -1 1 -1 ~ 0 1 0 -1 1 -1 A-1= -1 1 -1 ва 0 0 1 -3 1 0 0 0 1 -3 1 0 . -3 1 0 6 -1 -1 2 12-9-2 1 x1 1 X= A-1b= -1 1 -1 9 = -2+9-2 = 5 ; x2 = 5 -3 1 0 2 -6+9+0 3 x3 3 Demak, х1 =1, х2 =5, х3 =3 . MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR 1. Teskari matrisa deb qanday matrisaga aytiladi? 2. qanday matrisalar uchun teskarisi mavjud bo'ladi? 3. Berilgan matrisaga teskari matrisa mavjud bo'lsa uni topishning qanday usullarini bilasiz? 4. Matrisaning rangini topishning qanday usullarini bilasiz? 5. Ushbu matrisaviy tenglama АХ=В дан номаълум матрица Х ни топинг. dan noma'lum matrisa X ni toping.
1. Xojiyev J., Faynleyb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi. Toshkent. O'zbyokiston. 2001 yil. 304 bet. 2. Kurosh A.G. Oliy algebra kursi. Toshkent. O'qituvchi . 1975yil. 3. Nazarov R.N., Toshpulatov B.T., Dusimbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi. I, II- Qism. Toshkent .O'qituvchi . 1993, 1995yil. 4. Iskandarov R.I. Oliy algebra. I,II-Qism.“O'rta va oliy maktab”.Toshkent. 1963.
5. Gelfand I.M. Leksii po lineynoy algebre. M. “Nauka”. 1971. 6. Kostrikin A.I. Vvedeniye v algebru. M.”Nauka”. 1977. 7. Fadeyev D.K. Leksii po algebre. Uchebnik . M. “Nauka”. 1984. 8. Golovina L.I. Lineynaya algebra i nekotoro'e yeyo prilojeniye . M. “Nauka”. 1983. 9. Proskuryakov I.V. Sbornik zadach po lineynoy algebre. M.”Nauka”. 1983. 10. Fadeyev D.K. , Sominskiy I.S. Sbornik zadach po vo'sshey algebre. M. “Nauka”. 1985. 11. Sbornik zadach po algebre. Pod redaksiyey A.I. Kostrikina. M. “Nauka”. 1987.
Download 0.82 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling