Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi

Z/6Z=  Z/ 6Z; +  - additiv abel gruppasi.

7). Z/mZ to'plamda ko'paytirish amalini

 C_ij , agarda 0  ij  m-1 bo'lsa;

C_i C_j =  (*)

 C_r , agarda ij  m va ij=mq+r bo'lsa;

tenglik bilan aniqlasak.  Z/ mZ;   -multiplikativ monoid bo'ladi.

Bunda neytral element С₁ bo'ladi, assosiativlik qonuni bajariladi, lekin ixtiyoriy С_i uchun C_i C_j = C₁ shartni qanoatlantiruvchi C_j element mavjud emas.

Masalan, m=6 da C₃ C₀ = C₀ , C₃ C₁ = C₃ , C₃ C₂ = C₀ , C₃C₃ = C₃ , C₃C₄ = C₀ , C₃ C₅ =C₃, ya'ni C₃ C_j = C₁ tenglikni qanoatlantiruvchi C_j sinf mavjud emas.

8). М={1,-1} to'plamning arifmetik ko'paytirish amaliga nisbatan multiplikativ gruppa bo'lishligini isbotlang.

9). a+b3 ko'rinishdagi sonlar to'plamini a,b R bo'lganda ko'paytirish va qo'shish amallariga nisbatan gruppa bo'lish yoki bo'lmasligini tekshiring.

GRUPPANING XOSSALARI
1. Ixtiyoriy gruppada neytral element bir qiymatli aniqlanadi va gruppaning istalgan elementi uchun yagona teskari (simmetrik )element mavjud bo'ladi. Biz bu xossani ilgari umumiy holda isbotlagan edik.

2. Har qanday multiplikativ gruppada bo'lish munosabati o'rinli, ya'ni istalgan a va b elementlar uchun shunday x,y elementlar topiladiki, аx=b, yа=b tenglamalar yagona yechimga ega .

Isboti. ax=b tenglamani chap tomondan а^-1 ga ko'paytirsak, а^-1(ax)= а^-1b yoki (а^-1 a)x= а^-1b  ex = а^-1b x= а^-1 b ga ega bo'lamiz. x= а^-1b bilan birga c ham ax=b tenglamaning yechimi bo'lsa, u holda c=e c=( а^-1 a)c= а^-1(ac); bu yerda ас =b bo'lgani uchun c= а^-1b, ya'ni с= x.

3. Istalgan grupaning elementlari regulyar elementlardir .

Haqiqatan ham at b= at c  b=c va bta= cta  b=c kelib chiqadi. Gruppaning elementlariga simmetrik а' element mavjut bo'lgani uchun

а't(at b)= а't (аt c)  (а't a) t b=( а' t a)tc  et b=etc b=c .

Keyingi tenglik ham shuning singari isbotlanadi.

4.  G, t  - gruppaning ixtiyoriy n ta elementi shu gruppada aniqlangan algebraik amal t ga nisbatan assosiativdir .

Isboti. Isbotni yozuvda soddalik uchun ko'paytirish amaliga nisbatan olib boramiz.

1) n=1,2 da isbotning xojati yo'q;

n=3 da esa gruppa ta'rifidagi 1)-shartda berilgan.

Faraz etaylik, n=k da teorema o'rinli bo'lsin, ya'ni n ta ko'paytuvchining ko'paytmasi qavslarni qo'yish tartibiga bog'liq bo'lmasin. U holda a₁ a₂ ...a_к =

_k

=  a_i deb yoza olamiz . Bu tenglikning ikkala tomonini a_к+1 ga ko'paytirsak,

ⁱ⁼¹ _{k l k}

(a₁ a₂ ...a_к )  a_к+1 = (  a_i )  a_к+1 =  a_i   a_i  a_к+1

^{i=1 i=1 i=l+1}

_{l k}

Endi  a_i va  a_i lardagi ko'paytuvchilar soni k dan kichik shuning uchun

^{i=1 i=l+1}

bu ko'paytuvchilar uchun xossa o'rinli .

Endi _{l k}

 a_i ,  a_i , a_к+1

^{i=1 i=l+1} hadlar uchun (ularni 3ta element deb) assosiativlik qonunini qo'llasak _{l k}

 a_i   a_i  a_к+1

^{i=1 i=l+1}

ifodaga va demak (a₁ a₂ ...a_к )  a_к+1 ifodada ham uning qiymati qavslarni qo'shish tartibiga bog'liq emas degan xulosaga kelamiz.

5. a₁ ,a₂ , ...,a_к G elementlarining ko'paytmasiga teskari bo'lgan element

a_k^-1a_k-1^-1 ...a₁^-1 bo'ladi. (Tekshiring). a.a...a=aⁿ deb belgilaymiz , а⁰ = е .

6. Agar а G bo'lsa , u holda aⁿ G, nN bo'ladi.

GRUPPALARNING GOMOMORFLIGI

Faraz etaylik , G =  G;   ^-1  va H =  H;   ^-1  - multiplikativ gruppalar berilgan bo'lsin. Agar G ni H ga akslantiruvchi h akslantirish asosiy amallarni saqlasa , ya'ni

1) a,b G учун h(аb)= h(a) h(b) ,

2)  a  G, h(a^-1) =(h(a)) ^-1

shartlar bajarilsa, h ga gomomorf akslantirish , G va H gruppalarga esa gomomorf (o'xshash) gruppalar deyiladi. Agar h:G  H gomomorf akslantirish bo'lib G ni H ga (ustiga) o'tkazsa h ga epimorf akslantirish deyiladi .

Agar h:G  H akslantirish o'zaro bir qiymatli akslantirish bo'lib, asosiy amallarni saqlasa bunday akslantirishga izomorf akslantirish deyiladi (xossalari bir xil). Bu holda G va H gruppalarga izomorf gruppalar deyiladi va G  H ko'rinishda yoziladi.

G ni G ga (ustiga) akslantiruvchi izomorf h akslantirishga avtomorfizm deyiladi.

1-teorema . Agar h:G  H akslantirish G dagi binar amal ( ni saqlasa, ya'ni

 a,bG, h(ab)=h(a) h(b) tenglik o'rinli bo'lsa , u holda h G gruppa-ning birlik е elementini H gruppaning birlik elementiga o'tkazadi va

h:G  H gomomorf akslantirish bo'ladi.

Isboti . Faraz etaylik, е G ning bir elementi bo'lsin va u h akslantirishda е' H elementga utsin , ya'ni е' = h(е) H. е' ning H uchun birlik element ekanligini ko'rsatamiz . 1) ga asosan

h(ee)=h(e)  h(e) = е' е', ikkinchi tomondan е' =h(e)=h(e e). Demak, е' е' =е', ya'ni е' H birlik element. h ning gomomorf akslantirish ekanligini ko'rsatish uchun 2) shartni qanoatlantirishni ko'rsatish yetarli.

Faraz etaylik, a G bo'lsin. U holda G gruppa bo'lgani uchun  a^-1G va a a^-1 = e G . (1) ga asosan bunlan h(a a^-1) = h(a) h(a^-1)= h(e)= e' H .

Demak,  a  G, h(a^-1) =(h(a)) ^-1 , ya'ni h(a) ga teskari element.

Gruppalar to'plamidagi izomorflik munosabati ekvivalentlik munosabatidir (tekshirib ko'ring ).

Misollar. 1. Q* - barcha noldan farqli rasional sonlar to'plami va Q*=

= Q* ;  , ^-1  esa rasional sonlarning multiplikativ gruppasi bo'lsin.

Q⁺=Q⁺;  , ^-1  - musbat rasional sonlarning multiplikativ gruppasi bo'lsin. U holda h(a)=a, h:Q* Q⁺ (ya'ni h:aa) gomomorf akslantirish bo'ladi.

1-shart. h(a.b)=h(a).h(b), chunki ab=ab

2-shart. h(a^-1) =(h(a)) ^-1, a^-1=a^-1 lar absalyut qiymatning xossalariga asosan bajariladi.

2. R⁺= R⁺;  , ^-1  - musbat haqiqiy sonlarning multiplikativ gruppasi, R=R ; +, -  esa haqiqiy sonlarning additiv gruppasi bo'lsin, u holda f(x)=

=log x funksiyaning yordamidagi akslantirish f: R⁺ R izomorf akslantirish bo'ladi, chunki log (x.y)=log x+log y, log x^-1 = - log x .

3. g (x) = 2^x funksiya yordamida akslantirish (ya'ni f (x)=log₂ x funksiyaga teskari funksiya bilan) g:R R⁺ ham izomorf akslantirish bo'ladi, chunki 2^x+y = 2^x 2^y, 2^-x = (2^x )^-1 .

Mavzuni mustaxkamlash uchun savollar

1). Gruppa deb nimaga aytiladi ?

2). Chekli gruppaning tartibi deganda nimani tushunasiz ?

3). Additiv va multiplikativ gruppaga ta'rif bering .

4). Qism gruppa deganda nimani tushunasiz ?

5). Gruppaning normal bo'luvchisi deb nimaga aytiladi ?

6). Lagranj teoremasini ayting .

7). Faktor gruppaga ta'rif bering .

8). Gomomorf gruppalar deb qanday gruppalarga aytiladi ?

9). Izomorf gruppalar deb qanday gruppalarga aytiladi ?

11-MA'RO'ZA

MAVZU :CHIZIqLI TENGLAMALAR SISTEMASI VA TUg'RI

BURCHAKLI MATRITSALAR

R YE J A :

1.Chiziqli tenglamalar sistemalari haqidagi umumiy ma'lumotlar .

2.Ekvivalent chiziqli tenglamalar sistemalari.

3.Chiziqli tenglamalar sistemasidagi elementar almashtirishlar .

4.Tug'ri burchakli matrisalar .
ADABIYOTLAR [1,2,3 ].
Ushbu sistemaga

a₁₁ x₁ +a₁₂ x₂ + ....+ a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ +a₂₂ x₂ + ....+ a_2n x_n = b₂

.................................................. (1)

a_m1 x₁ +a_m2 x₂ + ....+ a_mn x_n = b_m

n ta noma'lumli m ta chiziqli tenglamalardan to'zilgan sistema deyiladi.

Bunda a_ij lar koeffisiyentlar (sonlar ), x₁, x₂ , ..., x_n noma'lumlar, b₁ , b₂ ,..., b_m lar ozod hadlar deyiladi . a_{i j} koeffisiyentda birinchi indeks tenglamaning nomerini, ikkinchi indeks j esa nomalumning nomerini bildiradi. Agar (1)da b₁ , b₂ , ... , b_m lardan birortasi noldan farqli bo'lsa, (1) ga bir jinsli bo'lmagan tenglamalar sistemasi, agar b₁ = b₂ = ... = b_m = 0 bo'lsa , (1) ga bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi. (1) ni qisqacha a_i1x₁ +a_i2 x₂ + ....+ a_in x_n = b_i , i=1,2,3, ... , m . (2)

ko'rinishda ham yozish mumkin.

n ta haqiqiy sondan to'zilgan tartiblangan n-lik (₁, ₂ , ..., _n) ga n- o'lchovli arifmetik vektor deyilali.

(2) ning yechimi deganda uning har bir tenglamasini to'g'ri tenglikka aylantiruvchi ₁, ₂ , ..., _n sonlarga aytiladi.

(1) -sistemani vektor tushunchasidan foydalanib quyidagicha yozish mumkin. (1)

ning noma'lumlar oldidagi koeffisiyentlardan to'zilgan vektorustunlarini

ni а₁₁ а₁₂ а_1n b₁

А⁽¹⁾= а₂₁ , А⁽²⁾= а₂₂ а_2n b₂

 , ..... , А⁽ⁿ⁾ =  , b = 

а_m1 а_m2 а_mn b_m
deb belgilab olsak, (1) dan

А⁽¹⁾ x₁+ А⁽²⁾ x₂ + ... +А⁽ⁿ⁾ x_n =b (3)

ni hosil qilamiz. (Ma'lumki vektorni songa ko'paytirish uchun uning barcha koordinatalari shu songa ko'paytiriladi).

Agar (1) sistema yechimga ega bo'lsa, bunday sistemaga birgalikdagi sistema, yechimga ega bo'lmasa birgalikda bo'lmagan sistema deyiladi. Agar (1) sistema faqat bitta yechimga ega bo'lsa, o'nga aniq sistema, cheksiz ko'p yechimga ega bo'lsa, (1) ga aniqmas sistema deyiladi. (Tushunarliki, (1) sistema yechimga ega bo'lsa ,u yagona yechimga ega yoki cheksiz ko'p yechimga ega bo'ladi).

М: a) 3x₁ -2 x₂+5x₃=6 sistema yechimga

2x₁+ x₂-3x₃=1 ega emas;

5x₁- x₂+2x₃=2
б) 3x₁ -2 x₂+5x₃=6 sistema yagona yechim (1, 1, 1)

2x₁- x₂+ 3x₃= 4 ga ega ;

x₁+ x₂+ x₃ = 2

в) x₁ - x₂ -x₃ = 2

2x₁+ 5x₂+x₃=4 sistema cheksiz ko'p yechimga ega .
Tushunarliki bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi doimo (0,0,...,0) yechimga ega. Bu yechim uning trivial yechimi deyiladi va uning noldan farqli yechimlarga ega bo'lish shartlari tekshiriladi. (2) sistema bilan birga
c_i1x₁ +c_i2 x₂ + ....+ c_in x_n = d_i , i=1,2,3, ... , m . (4)

cistema ham berilgan bo'lsin. Agar (2)-sistemaning har bir yechimi (4)-sistema yechimi bo'lsa , (4)-sistema (2) -sistemaning natijasi deyiladi.

Agar (2) ning yechimlari to'plamini A, (4) ning yechimlari to'plamini esa В deb belgilasak, А  В bo'ladi.

Agar (4)-sistema (2)-sistemaning natijasi, (2)- sistema esa (4)-sistemaning natijasi bo'lsa, u holda (2) va (4) sistemalarga o'zaro ekvivalentlik sistemalar deyiladi.

Ushbu almashtirishlarga (1)-chiziqli tenglamalar sistemasidagi elementar almashtirishlar deyiladi.

1). (1) sistemadagi biror (masalan, k-tenglamani) tenglamaning ikki to-monini   0 soniga ko'paytirish;

2). Sistemadagi ixtiyoriy 2 ta tenglamaning o'rinlarini almashtirish;

3). Sistemaning 2ta tenglamasini mos ravishda   0 va  0 sonlariga ko'paytirib natijalarini qo'shish;

4). Barcha koeffisiyentlari va ozod hadi nollardan iborat (agar shunday tenglamalar mavjud bo'lsa) tenglamalarni tashlab yuborish.

Teorema. Elementlar almashtirishlar natijasida hosil bo'lgan sistema dastlabki sistemaga tengkuchli sistemadir.

Isboti. Haqikatdan ham, agar qaralayetgan sistema (1) sistemadan 2) va 4) elementar almashtirishlar natijasida hosil qilingan bo'lsa, ularning ek-vivalent ekanligi ta'rifdan bevosita kelib chiqadi.

Faraz etaylik, (1) sistemaning birorta tenglamasi, masalan, i-tenglama-si   0 soniga ko'paytirilib, yangi sistema hosil qilingan bo'lsin.Bu siste-madagi i-tenglamadan boshqa tenglamalar (1)-sistemadagi tenglamalar bilan bir xil, shuning uchun ham (1)ning ixtiyoriy ₁, ₂ , ..., _n yechimini olib, uning yangi sistemadagi i-tenglama  a_i1x₁ +  a_i2 x₂ + ....+  a_in x_n = b_i ni qanoatlan-tirishini ko'rsatish kifoya. Haqikatdan ham

₁, ₂ , ..., _n (1) ning yechimi bo'lgani uchun a_i1₁ + a_i2 ₂ + ....+ a_in _n = b_i dan  a_i1₁ +  a_i2₂ + ....+ a_in _n= =( a_i1₁ + a_i2 ₂ + ....+ a_in _n )= b_i kelib chiqadi

Endi agarda yangi sistemadagi i-tenglama (1)dagi i-tenglama a_i1x₁+a_i2 x₂ + +.... +a_{i n} x_n = b_i ni  га ga j-tenglamani esa  ga ko'paytirib natijani hadlab qo'shish natijasida hosil qilingan bo'lsa, u holda yuqridagi singari muloxaza yuritib a_i1₁ + a_i2 ₂ + ....+ a_in _n = b_i va a_j1₁ + a_j2 ₂ + ....+ a_jn _n = b_j larga asosan ( a_i1 +a_j1 )₁ +( a_i1 +a_j2 )₂ + ....+ ( a_in +a_{j n} )_n=( a_i1₁ + +a_i2 ₂ + ....+ a_in _n )+ (a_j1₁ + a_j2 ₂ + ....+ a_{j n} _n )= b_i+ b_j tenglikka ega bo'lamiz . Shunday qilib teorema to'la isbotlandi .

Misollar: 1. 5х+4у=2

х- 4у=4 (1) yechimi (1; - 3/4 );

х+4у=-2 (2) bu cheksiz ko'p yechimga ega .

Demak, (2) sistema (1) sistemaning natijasi .

2. 2x₁ -3x₂ +x₃ =7 4х₁ -х₂ +3х₃ = -1

х₁ + х₂ -2х₃ =-4 ва 3х₁ -2х₂ - х₃ = 3

х₁ -4х₂ +3х₃ =11

sistemalarning ikkalasi ham aniqmas sistemalar bo'lib ularning yechimlari to'plamlari ustma-ust tushadi. (1) sistemadagi 1-tenglamadan 2-tenglamani ayirsak, (2)-sistemadagi 3-tenglama; qo'shsak, 2-tenglama hosil bo'ladi. (1)-sistemadagi 2-tenglamani 2ga ko'paytirib 1-tenglamaga qo'shsak ,(2)-sistemaning 1-tenglamasi hosil bo'ladi.

Ushbu (1)-sistemaning noma'lumlari koeffisentlaridan to'zilgan

a₁₁ a₁₂ .... a_1n

А= a₂₁ a₂₂ .... a_2n

.....................

a_m1 a_m2 .... a_mn

jadvalga (1) sistemaning matrisasi deyiladi.

a₁₁ a₁₂ .... a_1n b₁

B = a₂₁ a₂₂ ... a_2n b₂

....................................

a_m1 a_m2 .... a_mn b_m

advalga esa (1)-sistemaning kengaytirilgan matrisa deyiladi. a₁₁ , a₂₂ , a₃₃ ,... elementlar joylashgan diagonalga bosh diagonal deyiladi.

a_1n , a_2,n-1 , a_3,n-2 , ... elementlar joylashgan diagonalga esa ikkinchi diagonal deyiladi. Agar m= n bo'lsa, A ga n-tartibli kvadrat matrisa deyiladi.

1 0 0 ... 0

Е= 0 1 0 ... 0 matrisaga birlik matrisa deyiladi.

................

0 0 0 ... 1

Matrisadagi elementar almashtirishlar deb quyidagilarga aytiladi.

1). Ikkita satrining (ustunining) o'rnini almashtirishga;

2). Biror satridagi (ustunidagi) barcha elementlarni noldan farqli songa ko'paytirishga;

3). Biror satri (ustuni) dagi barcha elementlarni noldan farqli songa ko'paytirib, ikkinchi bir satr (ustun) elementlariga qo'shishga.