The Failures of Mathematical Anti-Evolutionism

U
= Q − W.
(7.1)
In words: the change in internal energy is found by adding the energy
entering the system as heat and subtracting the energy leaving the
system as work done on the surroundings.
If we restrict our attention to an isolated system, then nothing
whatsoever is crossing the boundary. In this case we have Q
= W = 0,
which implies that  U
= 0 as well. Thus, in this case, the first law
reduces to the statement that the internal energy of an isolated system
must remain constant, which is equivalent to saying that energy can
neither be created nor destroyed. In this form, the first law is often
referred to as the law of conservation of energy. (It is possible to
formulate versions of the first law that apply to open systems, but
this requires a level of technical detail that is well beyond anything
we want to discuss here.)
Whereas the mathematical formulation of the first law does
not require anything especially fancy, the second law can only be
expressed using some ideas from calculus. Furthermore, we will need
one more bit of thermo-jargon to express it properly. It is worth the
trouble to do this, so I will ask you to bear with me for a moment.
Recall that the earliest theorizing about thermodynamics
occurred in the context of practical questions about heat engines.
The tendency of heat to travel from hot to cold, and not vice versa,
was the main principle underlying the functionality of such engines,
and we saw that engines tend to dissipate energy into less available
forms. This led to practical questions about how efficient a heat
engine could possibly be.
It was quickly realized that, among other attributes, the most
efficient possible heat engine would be one in which no energy was

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230 7 thermodynamics
lost to the surroundings, but was instead converted perfectly into
work. Real heat engines, no matter how well designed, inevitably
waste some energy because of friction between moving parts or by
radiating heat to the surroundings, but an ideal heat engine would
not have these defects.
This led to the notion of a “reversible” process. The idea is best
explained by example. Imagine a piston in a cylinder that compresses
a small quantity of gas. If we add a small quantity of heat to the
system, then the gas expands and pushes the piston outward. But if
we now cool the gas to precisely its original temperature, the piston
returns precisely to its original position. This is an example of a
reversible process. A small change to the surroundings leads to a small
change to the system, and restoring the surroundings to their original
state restores the system as well.
Real thermodynamical processes are never perfectly reversible
precisely because some energy is always lost to the surroundings. In a
real process, restoring the surroundings to their initial state does not
perfectly restore the system.
Therefore, the concept of “reversibility” captures the idea
that an ideal heat engine converts all of its heat to work, and it
is for this reason that entropy calculations are always carried out
under the assumption that we are studying a reversible process.
More precisely, in calculating the change in entropy that occurs
when a system goes from some initial state to some final state,
we begin by describing a reversible process taking us from one
state to another, and then we evaluate a certain mathematical
expression.
Here is that expression, where S represents entropy, Q repre-
sents the heat added to the system, and T represents the temperature
of the system when the heat is added. (For technical reasons, it is
important to use a temperature scale on which 0
◦
represents absolute
zero, but this detail is not important for our purposes.)