The Failures of Mathematical Anti-Evolutionism

S
≥
rev
dQ
T
.
(7.2)

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7.3 the first two laws of thermodynamics 231
The expression dQ represents a small input of heat into the system,
and the integral sign (the elongated S) indicates that we find the total
entropy change by adding up the numerous small entropy changes
that arise in various parts of the system as we go from the first to
the second state. The “
≥” sign means “greater than or equal to.” It
turns out that the two sides are equal only in the context of a purely
reversible process. Since perfect reversibility is an ideal to which
any real heat engine can only aspire, we conclude that in any actual
process the change in entropy will be greater than what is given by
the right hand side.
Equation 7.2 applies to any system, whether open, closed, or
isolated. However, as with our discussion of the first law, the equation
becomes easier to understand if we restrict our attention to an isolated
system. In that case, neither matter nor energy are crossing the
boundary. Therefore, the integral evaluates to 0, and the second law
reduces to the statement that the change in entropy will be greater
than 0, which is to say there will be more entropy at the end of the
process than there was at the beginning. Hence the assertion that in
an isolated system, entropy cannot spontaneously decrease.
If the system is open, then there is the possibility that the
integral on the right hand side evaluates to something negative.
To say that the change in entropy is negative is to say that there
is less entropy in the final state than there was in the initial state,
which is to say the entropy has decreased. Thus, the second law allows
for spontaneous entropy decreases in open systems, but even in such
cases it precisely quantifies just how much of a decrease is possible.
As we have said, in a typical thermodynamics textbook,
equation 7.2 appears after a lengthy and difficult mathematical
derivation. That level of technical detail is well beyond anything
we will need for the discussions to come. However, it is worth taking
a moment to understand, in general terms, why dividing heat by
temperature is a plausible way of measuring entropy.
Remember that with fractions, the bigger the top the bigger the
fraction. On the bottom it is the reverse: the smaller the bottom the
bigger the fraction.

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232 7 thermodynamics
Thus, for a fixed value of T, our formula says that a large influx
of heat will increase the entropy more than a small influx of heat. If
we think of entropy as a tendency for energy to become unavailable
for work, then we are basically saying that an engine operating at high
heat will burn itself out faster than an engine operating at low heat.
Adding heat to the engine will accelerate the pace at which energy
becomes unavailable for work, and that is why warming a system
increases its entropy.
On the other hand, what if we imagine keeping the top of the
fraction constant and only varying the bottom? In that case, our
formula says that a given quantity of heat will cause greater entropy
increase if the system is at a low temperature than if it is at a high
temperature. To see why this makes sense, it is simplest to think of
entropy as a tendency toward disorder and then to argue by analogy.
If you are in a silent library and you suddenly clap your hands, you
will create a serious disturbance. The other library patrons will be
very annoyed with you. But if you clap your hands on a busy street
corner, probably no one will notice the small amount of extra noise.
Alternatively, imagine that you light up a 40 Watt bulb in a dark room.
The result is a dramatic increase in visibility. If you illuminate the
same bulb in a room that is already brightly lit, then you will barely
notice the extra light.
Likewise, a small amount of heat added to a system at a low
temperature is more disruptive than the same amount of heat added
to a system at a high temperature.
Now, the discussion of the last few paragraphs has been a bit
technical. I promise I will not be using equation 7.2 to actually
calculate anything, which is something I have in common with the
anti-evolutionists whose work I will be criticizing. However, I felt it
was important to spend some time dwelling on real thermodynamics,
just so that we could better understand why the anti-evolutionist
version is so hard to take seriously.
The really important part of our discussion is not so much the
mathematical expression itself, but rather the precision of the result.

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7.4 statistical mechanics 233
The second law of thermodynamics is a precise mathematical state-
ment that exactly quantifies what is possible and what is not. When
this is understood, you realize why in serious scientific discourse, as
opposed to casual conversation, it does not make sense to say that a
proposed physical process appears to violate the second law. Either it
does or it does not, and if you claim it does then it is on you to provide
the calculation that shows that it does.
In other words, show me that the process entails an entropy
change that is smaller than what is required by equation 7.2. If you
are not prepared to do so, then you are not making a serious argument
and should not be talking about thermodynamics at all.
7.4 statistical mechanics
Based on what I have said up to this point, you would never know
that matter is made up of microscopic atoms. Instead, I have based
my presentation on the macroscopic properties of matter, which we
can define roughly as those properties that are visible and measurable
to the naked eye. Since this presentation tracks well with how
matter was classically viewed prior to the ascension of atomic theory
in the nineteenth century, it is typically referred to as “classical
thermodynamics.”
If instead we take the view that any given bit of matter is a
large assemblage of microscopic particles, we can gain some further
insight into our thermodynamical principles. This leads to a branch
of physics known as “statistical mechanics.” It involves “mechanics”
in the sense that we are interested in the motions of particles, and it
is “statistical” in the sense that we are not interested in the motion
of any specific particle, but only in the average behavior of large
ensembles of particles.
To illustrate the main idea, it is customary to imagine a sealed
box with a partition in the middle. We imagine that there is a gas
on one side of the partition and vacuum on the other side. When
we remove the partition, the gas molecules rush to fill the vacuum,
and before long they are distributed evenly throughout the box.

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234 7 thermodynamics
It never happens that the evenly distributed gas molecules suddenly
rush to one side of the box, leaving a vacuum on the other side. This
is reminiscent of the macroscopic observation that heat only travels
in one direction.
The behavior of the gas molecules is readily understood in
terms of probability. We can assume there are so many molecules
moving and colliding in effectively random ways that any particular
arrangement of the molecules is as likely as any other. Since there
are vastly more arrangements in which the molecules are evenly
distributed throughout the box than there are arrangements where
all the molecules are found on one side, we are far more likely than
not to find the molecules evenly distributed.
Viewed in this way, we can say that the standard variables of
classical thermodynamics arise as the result of the average behavior
of large ensembles of particles. We can define the “microstate” of the
gas to be the position and momentum of each individual molecule.
We can contrast this with its “macrostate,” which is characterized
by familiar variables like internal energy, pressure, volume, and tem-
perature. The microstates in which the gas molecules are evenly dis-
tributed all give rise to the same macrostate. Conversely, macrostates
in which most of the energy is unavailable for work are consistent
with many microstates, and that is why they are more likely to occur
naturally than are macrostates with a lot of available energy, which
are consistent with only a small number of microstates.
We can also formulate a statistical notion of entropy, and the
standard formula for doing this entails that increasing the number
of microstates increases the entropy. Heating the gas increases the
velocity of all the particles, making possible more vigorous collisions
than before, and this increases the number of microstates available
to the molecules. In this way, we can understand why heating a
system increases its entropy. The second law can be understood as the
statement that since microstates corresponding to disordered states
of matter vastly outnumber microstates corresponding to ordered

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7.4 statistical mechanics 235
states, disordered states are far more likely to occur naturally than
ordered states.
The statistical view provides insight into thermodynamics that
is not available under the classical view. However, something has
been lost as well. Viewed statistically, the second law is now a
probabilistic statement about what is exceedingly likely to happen, as
opposed to a precise mathematical statement of what will definitely
happen.
The statistical view is more modern, and it is more fundamental
in the sense that we are explaining the behavior of macroscopic
systems by referring to the collective behavior of the particles that
compose them. It should not be thought, however, that the statistical
view has somehow supplanted the classical view or has shown that
the classical view is obsolete. Rather, the classical and statistical
views are just two different approaches to the same problems, each
useful in its own domain. H. C. Van Ness, a chemical engineer,
provides an apt summary of their relationship:
Statistical mechanics adds to thermodynamics on its theoretical
side, as a means for or as an aid to the calculation of properties.
The other half of thermodynamics, the applied half, benefits only
from a wider availability of the data needed in the solution of
engineering problems. … [I]t does provide, as thermodynamics
does not, the means by which thermodynamic properties may be
calculated whenever detailed descriptions of atomic and
molecular behavior are provided from other studies, either
theoretical or experimental. Thus statistical mechanics adds
something very useful to thermodynamics, but it neither explains
thermodynamics nor replaces it.