Тический анализ

2. Отдельный случай и Критерий Коши .
Пусть функция f(x) определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках .
Тогда можно найти несобственный интеграл

Критерий Коши
1. Пусть f(x) определена на множестве от и .
Тогда сходится
2. Пусть f(x) определена на (a,b] и .
Тогда сходится
3. Абсолютная сходимость и Условная сходимость.
Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.
Интеграл называется условно сходящимся, если сходится, а расходится.
4. Кратный интеграл .
В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от d > 1 переменных. Например:
Замечание: кратный интеграл − это определённый интеграл, при его вычислении всегда получается число.
4.1. Определение интеграла кратного интеграла .
Пусть — измеримое[1] множество n-мерного вещественного пространства, — функция на .
Разбиение множества — это набор попарно непересекающихся подмножеств , которые в объединение дают всё .
Мелкость разбиения Мелкость разбиения .

Разбиение называется конечным, если является конечным множеством, и измеримым, если все его элементы — измеримые (в данном случае — по Жордану) множества.
Кратным (n-кратным) интегралом функции f на множестве B называется число (если оно существует), такое что, какой бы малой -окрестностью числа мы ни задались, всегда найдется такое разбиение множества B и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность. Формально:
: :

Здесь — мера множества .
Это определение можно сформулировать в другой форме с использованием интегральных сумм. А именно, для данного разбиения и множества точек рассмотрим интегральную сумму .
Кратным интегралом функции , называют предел если он существует. Предел берётся по множеству всех последовательностей разбиений, с мелкостью стремящейся к 0. Разумеется, это определение отличается от предыдущего, по сути, лишь используемым языком.
Интеграл обозначается следующим образом:

0. 
   В векторном виде
   

0. 
   Либо ставят значок интеграла d раз, записывают функцию и d дифференциалов:
   
1. 
   Для двойного и тройного интегралов используются также обозначения и соответственно.
   

В современных математических и физических статьях многократное использование знака интеграла не применяется.
Такой кратный интеграл называется интегралом в собственном смысле.
В случае n=1 кратный интеграл совпадает с интегралом Римана.