Тический анализ

6. Двойной интеграл .
Двойным интегралом называют кратный интеграл с d = 2 .
. Здесь — элемент площади в рассматриваемых координатах.
В прямоугольных координатах: , где — элемент площади в прямоугольных координатах.
6.1. Геометрический смысл двойного интеграла .

Геометрический смысл двойного интеграла
Пусть функция принимает в области D только положительные значения. Тогда двойной интеграл численно равен объему V вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности .

6.2. Выражение двойного интеграла через полярные координаты .
В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.
Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

Модуль якобиана отображения равен r. Таким образом получаем, что где
Здесь


Переход из прямоугольных координат в полярные.
6.1. Пример перехода в произвольную систему координат .
Посчитаем площадь области

Переход в полярную систему координат не сделает область проще:

Множитель перед синусом «мешает». В этом случае переход можно немного скорректировать:

Это преобразование переведет исходную область в следующую:

Якобиан отображения:

Модуль якобиана также равен 2r.
Отсюда

Результат верный, так как область D ограничена эллипсом, заданным каноническим уравнением. Площадь можно посчитать по формуле . Путём подстановки убеждаемся в верности вычисления интеграла.



Переход из прямоугольных координат в полярные