Тический анализ

4.2. Существование кратного интеграла .
Достаточные условия

0. 
   Если функция непрерывна на измеримом по Жордану компакте, то она интегрируема на нем.
   
1. 
   Неограниченная функция на множестве может быть не интегрируемой, даже если она непрерывна. Например, y=1/x не интегрируема на интервале (0;1).
   
2. 
   Если функция определена на измеримом по Жордану множестве, у которого существуют сколь угодно мелкие разбиения, для которых данная функция неограничена на объединении всех их элементов положительной меры, то эта функция неинтегрируема на этом множестве.
   

Критерий Дарбу.
Пусть существуют верхний и нижний интегралы Дарбу функции на G . Тогда, если верхний и нижний интегралы Дарбу равны, то данная функция интегрируема на G, причем .
Критерий Лебега.
Пусть G - измеримое по Жордану множество. Функция интегрируема на G, если:

0. 
   Функция ограничена на G.
   
1. 
   Функция непрерывна на G\E, где множество E имеет меру Лебега нуль
   

4.3. Свойства кратных интегралов .

0. 
   Линейность по функции. Пусть G измеримо, функции f и g интегрируемы на G, тогда
   
1. 
   Аддитивность по множеству интегрирования. Пусть множества и измеримы, и . Пусть также функция f(X) определена и интегрируема на каждом из множеств и . Тогда интеграл по G существует и равен
   

0. 
   Монотонность по функции. Пусть G измеримо, функции f и g интегрируемы на G, причем . Тогда
   
1. 
   Интегральное неравенство треугольника. Следствие предыдущего свойства.
   

0. 
   Интегральная теорема о среднем. Пусть G — компакт, функция f(X) непрерывна и интегрируема на G, тогда
   

0. 
   Постоянная функция f(X) = c интегрируема на любом измеримом множестве G, причем
   

Как следствие, .