Tionswert angenommen wird

4.5.2.3  Beispiele und Gegenbeispiele 

  Die Funktion f:  ⟶  mit f(x) = 2x + 1 ist surjektiv, denn für jede reelle Zahl y gibt es ein Ur‐

bild. Aus der Gleichung y = 2x + 1 erhält man nämlich durch Äquivalenzumformung die Glei‐

chung x = ½(y−1), womit sich für jedes y ein Urbild x berechnen lässt.  

  Die Sinus‐Funktion sin :  ⟶ [‐1,1] ist surjektiv. Jede horizontale Gerade y = c mit ‐1 ≤ c ≤ 1 

hat unendlich viele Schnittpunkte mit dem Graphen der Funktion.  

  Die Sinus‐Funktion sin :  ⟶   ist jedoch nicht surjektiv, da z. B. die Gerade y = 2 keinen 

Schnittpunkt mit dem Graphen hat, der Wert 2 also nicht als Funktionswert angenommen 

wird.  

 

 bezeichne die Menge der komplexen Zahlen. 

f

1

:  ⟶ , x ↦ x

2

 ist nicht surjektiv. 

f

2

:  ⟶ , x ↦ x

2

 ist surjektiv. 

 

4.5.2.4  Eigenschaften 

  Man beachte, dass die Surjektivität einer Funktion f: A ⟶ B  nicht nur vom Funktionsgraphen 

{(x,f(x))|x ∈ A}, sondern auch von der Zielmenge B abhängt (im Gegensatz zur Injektivität, 

welche man am Funktionsgraphen ablesen kann).  

  Sind die Funktionen f: A ⟶ B  und g: B ⟶ C  surjektiv, dann gilt dies auch für die Kompositi‐

on (Verkettung) g ∘ f : A ⟶ C  .  

  Aus der Surjektivität von g ∘ f folgt, dass g surjektiv ist. 

  Eine Funktion f: A ⟶ B  ist genau dann surjektiv, wenn f eine rechte Inverse hat, also eine 

Funktion  g: B ⟶ A  mit f ∘ g = id

B

  (wobei id

B

 die identische Abbildung auf B bezeichnet). Die‐

se Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre.  

  Eine Funktion f: A ⟶ B  ist genau dann surjektiv, wenn f rechts kürzbar ist, also für beliebige 

Funktionen g, h: B ⟶ C  mit  g ∘ f = h ∘ f schon g = h folgt.  

  Jede beliebige Funktion f: A ⟶ B  ist darstellbar als Verkettung f = h ∘ g, wobei g surjektiv 

und h injektiv ist. g: A ⟶ im f  hat dabei die Bildmenge von f als Zielmenge und stimmt an‐

sonsten mit f überein (hat denselben Funktionsgraphen).