Tionswert angenommen wird

4.5.3.1  Definition 

Sei f eine Funktion, die von X nach Y abbildet, also f: X ⟶ Y. f ist bijektiv, wenn für alle y ∈ Y genau 

ein x ∈ X mit f(x) = y existiert. 

Mit anderen Worten kann man dies so ausdrücken: f ist bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. 

D

B 

C 

2 

3 

1 

X 

Y 

A 

4 

Eine bijektive Funktion;  

X ist die Definitionsmenge und 

Y die Zielmenge.

 

---

4 

 

4.5.3.2  Grafische Veranschaulichungen 

Das Prinzip der Bijektivität: Jeder 

Punkt in der Zielmenge (Y) wird 

genau einmal getroffen. 

Vier bijektive streng monoton stei‐

gende reelle Funktionen.

 

Vier bijektive streng monoton fal‐

lende reelle Funktionen.

 

 

4.5.3.3  Beispiele und Gegenbeispiele 

Die Menge der reellen Zahlen wird hier mit   bezeichnet, die Menge der nichtnegativen reellen Zah‐

len mit 

0

+

. 

  Die Funktion f:   ⟶  , x ↦ x + a ist bijektiv mit der Umkehrfunktion f

‐1

:   ⟶  , x ↦ x ‐ a. 

  Ebenso ist für a   0 die Funktion g:   ⟶  , x ↦ ax bijektiv mit der Umkehrfunktion 

g

‐1

:   ⟶  , x ↦ 

a

x

. 

  Unmathematisches Beispiel: Ordnet man jedem (monogam) verheirateten Menschen seinen 

Ehepartner bzw. seine Ehepartnerin zu, ist dies eine Bijektion der Menge aller verheirateten 

Menschen auf sich selbst. Dies ist sogar ein Beispiel für eine selbstinverse Abbildung. 

  Die folgenden vier Quadratfunktionen unterscheiden sich nur in ihren Definitions‐ bzw. Wer‐

temengen:  

f

1

:   ⟶  , x ↦ x

2

  

f

2

: 

0

+

 ⟶  , x ↦ x

2

  

f

3

:   ⟶ 

0

+

, x ↦ x

2 

f

4

: 

0

+

 ⟶ 

0

+

, x ↦ x

2

  

 

Mit diesen Definitionen ist  

  f

1

 nicht injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv  

  f

2

 injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv  

  f

3

 nicht injektiv, surjektiv, nicht bijektiv  

  f

4

 injektiv, surjektiv, bijektiv  

 

4.5.3.4  Eigenschaften 

  Sind A und B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen und ist  f: A ⟶ B  eine Funktion, 

dann gilt: 

Ist f injektiv, dann ist f bereits bijektiv. 

Ist f surjektiv, dann ist f bereits bijektiv. 

  Insbesondere gilt also für Funktionen f: A ⟶ B  von einer endlichen Menge A in sich selbst: 

f ist injektiv ⇔ f ist surjektiv ⇔ f ist bijektiv. 

Für unendliche Mengen ist das im Allgemeinen falsch. Diese können injektiv auf echte Teil‐

mengen abgebildet werden, ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge 

auf sich selbst, die keine Bijektionen sind. 

Solche Überraschungen werden im Artikel Hilberts Hotel detaillierter beschrieben, siehe dazu 

auch Dedekind‐Unendlichkeit.  

  Sind die Funktionen f: A ⟶ B  und g: B ⟶ C  bijektiv, dann gilt dies auch für die Verkettung 

g ∘ f : A ⟶ C  . Die Umkehrfunktion von g ∘ f ist dann f

‐1

 ∘ g

‐1

.  

  Ist g ∘ f bijektiv, dann ist f injektiv und g surjektiv. 

---

5 

 

  Ist f : A ⟶ B  eine Funktion und gibt es eine Funktion g: B ⟶ A, die die beiden Gleichungen 

g ∘ f = id

A

   (id

A

  = Identität auf der Menge A) 

f ∘ g = id

B

   (id

B

 = Identität auf der Menge B) 

erfüllt, dann ist f bijektiv, und g ist die Umkehrfunktion von f, also g = f

−1

.  

  Die Bijektionen einer Menge A in sich selbst bilden, zusammen mit der Verkettung als Ver‐

knüpfung, eine Gruppe, die, falls A endlich ist, „symmetrische Gruppe“ heißt.