4.5.1.1 Definitionen
Seien X und Y Mengen, sowie f: X ⟶ Y eine Abbildung von X nach Y.
Die folgenden Definitionen für Injektivität sind äquivalent:
f heißt injektiv, wenn zu jedem y aus Y höchstens ein x aus X existiert mit f(x) = y. („Höchstens eines“
bedeutet dabei: Gar keines oder genau eines, aber nicht mehrere.)
Formal: ∀y ∈ Y : (∃!x ∈ X: f(x) = y ∨ (∃x ∈ X: f(x) = y))
f heißt injektiv, wenn aus der Gleichheit von Funktionswerten (y‐Werten) die Gleichheit der in die
Funktion eingesetzten x‐Werte folgt.
Formal: ∀x
1
,x
2
∈ X : (f(x
1
) = f(x
2
) ⟹ x
1
=
x
2
)
f heißt injektiv, wenn ungleiche x‐Werte stets auf ungleiche y‐Werte abgebildet werden.
Formal: ∀x
1
,x
2
∈ X : (x
1
x
2
⟹ f(x
1
) f(x
2
))
Verwendet man diese Definition zum Nachweis der Injektivität, führt dies oft zu einem Wider‐
spruchsbeweis. Der direkte Beweis mit der vorigen Definition kann eleganter und kürzer sein.
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