Tionswert angenommen wird

4.5.1.3  Eigenschaften 

  Eine stetige reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall ist genau dann injektiv, wenn 

sie in ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend oder streng monoton fal‐

lend ist, d.h. für zwei beliebige Zahlen a und b aus dem Definitionsbereich gilt: Aus a < b folgt 

f(a) < f(b) (steigend), bzw. aus a < b folgt f(a) > f(b) (fallend).  

  Man beachte, dass die Injektivität einer Funktion f: A ⟶ B  nur vom Funktionsgraphen 

{(x,f(x))|x ∈ A} abhängt (im Gegensatz zur Surjektivität, die auch von der Zielmenge B ab‐

hängt, welche man am Funktionsgraphen nicht ablesen kann).  

  Sind die Funktionen f: A ⟶ B  und g: B ⟶ C  injektiv, dann gilt dies auch für die Komposition 

(Verkettung) g ∘ f : A ⟶ C  .  

  Aus der Injektivität von g ∘ f folgt, dass f injektiv ist.  

  Eine Funktion f: A ⟶ B  mit nichtleerer Definitionsmenge A ist genau dann injektiv, wenn f 

eine linke Inverse hat, also eine Funktion g: B ⟶ A  mit g ∘ f = id

A

   (wobei id

A

 die identische 

Abbildung auf A bezeichnet).  

  Eine Funktion f: A ⟶ B  ist genau dann injektiv, wenn f links kürzbar ist, also für beliebige 

Funktionen g, h: C ⟶ A  mit  f ∘ g = f ∘ h schon g = h folgt.   

  Eine Funktion f: A ⟶ B  ist genau dann injektiv, wenn für alle Teilmengen X,Y ⊆ A gilt: 

f(X∩Y)= f(X)∩f(Y).  

  Jede beliebige Funktion f: A ⟶ B  ist darstellbar als Verkettung f = h ∘ g, wobei g surjektiv 

und h injektiv (nämlich eine Inklusionsabbildung) ist.