Tionswert angenommen wird
Beispiele und Gegenbeispiele
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- 4.5.2.4 Eigenschaften
4.5.2.3 Beispiele und Gegenbeispiele
Die Funktion f: ⟶ mit f(x) = 2x + 1 ist surjektiv, denn für jede reelle Zahl y gibt es ein Ur‐ bild. Aus der Gleichung y = 2x + 1 erhält man nämlich durch Äquivalenzumformung die Glei‐ chung x = ½(y−1), womit sich für jedes y ein Urbild x berechnen lässt. Die Sinus‐Funktion sin : ⟶ [‐1,1] ist surjektiv. Jede horizontale Gerade y = c mit ‐1 ≤ c ≤ 1 hat unendlich viele Schnittpunkte mit dem Graphen der Funktion. Die Sinus‐Funktion sin : ⟶ ist jedoch nicht surjektiv, da z. B. die Gerade y = 2 keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat, der Wert 2 also nicht als Funktionswert angenommen wird.
bezeichne die Menge der komplexen Zahlen. f 1 : ⟶ , x ↦ x 2 ist nicht surjektiv. f 2 : ⟶ , x ↦ x 2 ist surjektiv.
Man beachte, dass die Surjektivität einer Funktion f: A ⟶ B nicht nur vom Funktionsgraphen {(x,f(x))|x ∈ A}, sondern auch von der Zielmenge B abhängt (im Gegensatz zur Injektivität, welche man am Funktionsgraphen ablesen kann). Sind die Funktionen f: A ⟶ B und g: B ⟶ C surjektiv, dann gilt dies auch für die Kompositi‐ on (Verkettung) g ∘ f : A ⟶ C . Aus der Surjektivität von g ∘ f folgt, dass g surjektiv ist. Eine Funktion f: A ⟶ B ist genau dann surjektiv, wenn f eine rechte Inverse hat, also eine Funktion g: B ⟶ A mit f ∘ g = id
(wobei id B die identische Abbildung auf B bezeichnet). Die‐ se Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre. Eine Funktion f: A ⟶ B ist genau dann surjektiv, wenn f rechts kürzbar ist, also für beliebige Funktionen g, h: B ⟶ C mit g ∘ f = h ∘ f schon g = h folgt. Jede beliebige Funktion f: A ⟶ B ist darstellbar als Verkettung f = h ∘ g, wobei g surjektiv und h injektiv ist. g: A ⟶ im f hat dabei die Bildmenge von f als Zielmenge und stimmt an‐ sonsten mit f überein (hat denselben Funktionsgraphen).
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