To`plamlar

5⁰. Aniq chegaralarning mavjudligi.
Aytaylik,

musbat haqiqiy son bо‘lsin, bunda

Ushbu

ratsional sonlar uchun bо‘ladi.
Demak, ixtiyoriy haqiqiy son olinganda shunday ikkita ratsional son topiladiki, ulardan biri shu haqiqiy sondan kichik yoki teng, ikkinchisi esa katta bо‘ladi.
Endi sonlar tо‘plamining aniq chegaralarining mavjudligi haqidagi teoremalarni keltiramiz.
3-teorema. Agar bо‘sh bо‘lmagan tо‘plam yuqoridan chegaralangan bо‘lsa, uning aniq yuqori chegarasi mavjud bо‘ladi.
Xuddi shunga о‘xshash quyidagi teorema isbotlanadi.
4-teorema. Agar bо‘sh bо‘lmagan tо‘plam quyidan chegaralangan bо‘lsa, uning aniq quyi chegarasi mavjud bо‘ladi.
Eslatma. Tо‘plamning aniq quyi hamda aniq yuqori chegaralari shu tо‘plamga tegishli bо‘lishi ham mumkin, tegishli bо‘lmasligi ham mumkin.
6⁰. Haqiqiy sonlar ustida amallar. Avval aytganimizdek, ratsional sonlar ustida, xususan chekli о‘nli kasrlar ustida bajariladigan amallar va ularning xossalari ma’lum deb hisoblaymiz.
Aytaylik, ikkita musbat

haqiqiy sonlar berilgan bо‘lsin. Unda bо‘lganda ushbu

ratsional sonlar uchun
(1)
shuningdek,


ratsional sonlar uchun
(2)
bо‘ladi.
Endi (1) va (2) tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ratsional sonlarning yig‘indisi lardan iborat { } tо‘plamni qaraymiz. Ravshanki, bu tо‘plam yuqoridan chegaralangan. Unda 4-ma’ruzadagi 3-teoremaga kо‘ra { } tо‘plamning aniq yuqori chegarasi mavjud bо‘ladi.
1-ta’rif. { } tо‘plamning aniq yuqori chegarasi va haqiqiy sonlar yigindisi deyiladi va kabi belgilanadi:

(1) va (2) tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ratsional sonlarning kо‘paytmasi lardan iborat { } tо‘plamni qaraymiz. Bu tо‘plam yuqoridan chegaralangan bо‘ladi. Shuning uchun uning aniq yuqori chegarasi mavjud bо‘ladi.