To`plamlar

8⁰. Haqiqiy sonning absolyut qiymati. Aytaylik son berilgan bо‘lsin. Ushbu

miqdor sonining absolyut qiymati deyiladi.
Haqiqiy sonning absolyut qiymati quyidagi xossalarga ega:
1) son uchun

munosabatlar о‘rinli,
2) , ,
3) sonlar uchun

bо‘ladi.
Bu xossalarning isboti bevosita sonning absolyut qiymati ta’rifidan kelib chiqadi. Ulardan birini, masalan bо‘lishini isbotlaymiz.
◄ Aytaylik, bо‘lsin. Unda bо‘ladi. bо‘lishini e’tiborga olib topamiz:

Endi bо‘lsin.
Unda bо‘ladi. bо‘lishini e’tiborga olib topamiz:
. ►
1-misol. Ushbu
(3)
tengsizlik ning qanday qiymatlarida о‘rinli bо‘ladi?
◄ Sonning absolyut qiymati xossasidan foydalanib topamiz:
.
Demak, (3) tengsizlik ixtiyoriy uchun о‘rinli bо‘ladi. ►
Barcha manfiy bо‘lmagan haqiqiy sonlar tо‘plamini bilan belgilaylik. Ravshanki, .
Har bir haqiqiy songa uning absolyut qiymati ni mos qо‘yish bilan ushbu akslantirishga ega bо‘lamiz.
Demak haqiqiy sonning absolyut qiymati tо‘plamni tо‘plamga akslantirish deb qaralishi mumkin.
Ixtiyoriy sonlarni olaylik. Ushbu

miqdor va nuqtalar orasidagi masofa deyiladi va kabi belgilanadi:
.
Masofa quyidagi xossalarga ega:
1)
2)
3)
Bernulli tengsizligi. Nyuton binomi formulasi. Ixtiyoriy ( ) hamda ixtiyoriy uchun ushbu
(4)
tengsizlik о‘rinli.
◄ Bu tengsizlikni matematik induksiya usuli yordamida isbotlaymiz.
Ravshanki, da (4) tengsizlik (tasdiq) о‘rinli bо‘ladi

Endi da (4) munosabat о‘rinli deb, uni uchun ham о‘rinli bо‘lishini kо‘rsatamiz. (4) tengsizlikning har ikki tomonini ga kо‘paytirib topamiz:

Matematik induksiya usuliga binoan (4) munosabat ixtiyoriy uchun о‘rinli bо‘ladi.►
(4) tengsizlik Bernulli tengsizligi deyiladi.
Endi Nyuton binomi formulasini keltiramiz.
Ma’lumki, da

bо‘ladi. Umuman, ixtiyoriy da
(5)
bо‘ladi, bunda

(5) tenglik ham matematik induksiya usuli yordamida isbotlanadi.
◄ Ravshanki, da Demak, bu holda (5) tenglik о‘rinli. Endi (5) tenglik uchun о‘rinli bо‘lsin deb, uni uchun ham о‘rinli bо‘lishini kо‘rsatamiz. (5) tenglikning har ikki tomonini ga kо‘paytirib topamiz:

Ravshanki,

Demak,

bо‘ladi. Bu esa (5) tenglik bо‘lganda ham bajarilishini kо‘rsatadi. ►
Odatda (5) tenglik Nyuton binomi formulasi deyi-ladi.