Toshkent axboorot texnologiyalari universiteti qarshi filiali
Download 0.86 Mb. Pdf ko'rish
|
McL9LRi1Bk6kZPSC-753
- Bu sahifa navigatsiya:
- Bajardi : Abduzoirova D Qabul qildi: Soipnazarov J Qarshi – 2022.
|
O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI TOSHKENT AXBOOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI QARSHI FILIALI KOMPYUTER INJINIRINGI YO’NALISHI II-KURS 16-21-GURUH TALABASI Abduzoirova Dilfuza ning Diskrit tuzilmalari fanidan MUSTAQIL ISHI Bajardi : Abduzoirova D Qabul qildi: Soipnazarov J Qarshi – 2022. Reja: 1. Natural sonlar to’plamiga akslantirish prinsipi. 2. To’plamlar nazariyasining aksiomalari. 3. Algebraik sistemalar. KIRISH To‘plamlarni lotin alifbosining bosh harflari A B, , , … ularning elementlarini esa kichik - a b, ,… harflar bilan belgilaymiz. «a element A to‘plamga tegishli» iborasi «a A ∈» shaklda yoziladi. «a A ∉» yozuv esa a element A to‘plamga tegishli emasligini bildiradi. Agar A to‘plamning barcha elementlari B to‘plamning ham elementlari bo‘lsa, u holda A to‘plam B to‘plamning qismi deb ataladi va A B ⊂ ko‘rinishda yoziladi. Masalan, natural sonlar to‘plami haqiqiy sonlar to‘plamining qismi bo‘ladi. A va B to‘plamlar bir xil elementlardan tashkil topgan bo‘lsa, ular teng to‘plamlar deyiladi va A B = shaklda belgilanadi. Ko‘pincha, to‘plamlarning tengligini isbotlashda A B ⊂ va B A ⊂ munosabatlarning bajarilishi ko‘rsatiladi ([1] ga qarang). Ba’zida birorta ham elementi mavjud bo‘lmagan to‘plamlarni qarashga to‘g‘ri keladi. Masalan, 1= 0 2 x + tenglamaning haqiqiy yechimlari to‘plami, 2 ≤ x < 2 qo‘sh tengsizlikni qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlar to‘plami va hokazo. Bunday to‘plamlar uchun maxsus «bo‘sh to‘plam» nomi berilgan va uni belgalashda ∅ simvoldan foydalaniladi. Ma’lumki, har qanday to‘plam bo‘sh to‘plamni o‘zida saqlaydi va har qanday to‘plam o‘zining qismi sifatida qaralishi mumkin. To‘plamlarning bo‘sh to‘plamdan va o‘zidan farqli barcha qism to‘plamlari xos qism to‘plamlar deyiladi. To‘plamlar ustida amallar. Ixtiyoriy tabiatli A va B to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Agar C to‘plam faqatgina A va B to‘plamlarning elementlaridan iborat bo‘lsa, u holda C to‘plam A va B to‘plamlarning yig‘indisi yoki birlashmasi deyiladi va C A B = ∪ shaklda belgilanadi (1.1-chizmaga qarang). Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi Aαto‘plamlarning yig‘indisi ham shunga o‘xshash aniqlanadi: Aα to‘plamlarning kamida biriga tegishli bo‘lgan barcha elementlar to‘plami bu to‘plamlarning yig‘indisi deyiladi va bu munosabat Aαα ∪ shaklda belgilanadi. Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi to‘plamlarning kesishmasi − Aαα ∩ deb Aα to‘plamlarning barchasiga tegishli bo‘lgan elementlar to‘plami tushuniladi. To‘plamlar yig‘indisi va kesishmasi aniqlanishiga ko‘ra kommutativ va assotsiativdir.Endi A va B to‘plamlar ayirmasini ta’riflaymiz. A va B to‘plamlar ayirmasi deb A to‘plamning B to‘plamga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan iborat to‘plamga aytiladi va A B\ shaklda belgilanadi (1.3-chizmaga qarang). Ba’zan (masalan o‘lchovlar nazariyasida), A va B to‘plamlarning simmetrik ayirmasi tushunchasini kiritish maqsadga muvofiq bo‘ladi. A B\ va B A\ to‘plamlarning birlashmasidan iborat to‘plamga A va B to‘plamlarning simmetrik ayirmasi deyiladi va A B∆ shaklda belgilanadi, ya’ni A B A B B A ∆ = ∪ ( \ ) ( \ ) (1.4-chizmaga qarang). Ko‘p hollarda qandaydir universal E to‘plamning qism to‘plamlari qaraladi. Masalan, E tekislik, A tekislikdagi biror to‘plam bo‘lsin. Bu holda E A\ ayirma A to‘plamning to‘ldiruvchi to‘plami deyiladi va ' A yoki CA shaklda belgilanadi. To‘plamlar nazariyasi va uning tadbiqlarida muhim o‘rin tutadigan ikkilik prinsipi deb nomlanuvchi quyidagi ikki munosabatni keltiramiz:Ikkilik prinsipi shundan iboratki ixtiyoriy tenglikdan, agar bu tenglik qandaydir universal E to‘plamning qism to‘plamlari ustida bo‘lsa, ikkinchi ikkilik tenglikka o‘tish mimkin, buning uchun barcha qaralayotgan to‘plamlar ularning to‘ldiruvchilari bilan, to‘plamlar kesishmasi-birlashma bilan, birlashmasi-kesishma bilan almashtiriladi. Biz (1.3) tenglikning isbotini keltiramiz. (1.4) tenglik shunga o‘xshash isbotlanadi. Isbot. x E A \ αα∈∪ ixtiyoriy element bo‘lsin. U holda x E ∈ va x Aαα∉∪bo‘ladi. Bundan ixtiyoriy α uchun x ning Aαto‘plamga tegishli emasligiga kelamiz. Demak, x element Aαto‘plamlarning to‘ldiruvchilarida yotadi. Shunday qilib, ixtiyoriy α uchun x E A\ ∈α munosabat o‘rinli, bundan biz x E A ( \ )αα ∈∩ ga ega bo‘lamiz. Bu esa E A E A \ ( \ ). αααα∪∩⊂ (1.5) munosabatni keltirib chiqaradi. Endi teskari munosabatni isbotlaymiz. Agar x E A ( \ )αα ∈∩ bo‘lsa, u holda barcha α larda x E A\ ∈α bo‘ladi va x element Aα to‘plamlarning birortasiga ham tegishli bo‘lmaydi, bu esa x Aαα ∈/ ∪ ekanligini bildiradi. Demak, x E A \ αα ∈∪ ekan. Bundan biz E A E A \ ( \ ). αααα∪∩⊃ (1.6) munosabatga kelamiz. (1.5)-(1.6) munosabatlar (1.3) tenglikni isbotlaydi. Akslantirishlar Funksiya tushunchasini umumlashtirish. Ma’lumki, matematik analizda funksiya tushunchasi quyidagicha ta’riflanadi: X sonlar o‘qidagi biror to‘plam bo‘lsin. Agar har bir x X ∈ songa f qoida bo‘yicha aniq bir y son mos qo‘yilgan bo‘lsa, u holda X to‘plamda f funksiya aniqlangan deyiladi va y f x = ( ) shaklda yoziladi. Bunda X to‘plam f funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi, bu funksiya qabul 56 qiladigan barcha qiymatlardan tashkil bo‘lgan E f( ) to‘plam f funksiyaning qiymatlar sohasi deyiladi, ya’ni E f y y f x x X ( ) : ( ), . = = ∈{ } Agar sonli to‘plamlar o‘rnida ixtiyoriy to‘plamlar qaralsa, u holda funksiya tushunchasining umumlashmasi, ya’ni akslantirish ta’rifiga kelamiz. Bizga ixtiyoriy X va Y to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Agar har bir x X ∈ elementga biror f qoida bo‘yicha Y to‘plamdan yagona y element mos qo‘yilsa, u holda X to‘plamda aniqlangan Y to‘plamdan qiymatlar qabul qiluvchi f akslantirish berilgan deyiladi. Bundan keyin biz ixtiyoriy tabiatli to‘plamlar bilan ish ko‘ramiz (shu jumladan sonli to‘plamlar bilan ham), shuning uchun ko‘pgina hollarda funksiya termini o‘rniga akslantirish atamasini ishlatamiz. X to‘plamda aniqlangan va Y to‘plamdan qiymatlar qabul qiluvchi f akslantirish uchun f X Y : → belgilashdan foydalaniladi. Biz asosan quyidagi belgilashlardan foydalanamiz. N − natural sonlar to‘plami, Z − butun sonlar to‘plami, Q − ratsional sonlar to‘plami, R − haqiqiy sonlar to‘plami, C − kompleks sonlar to‘plami, R [0, ) + = ∞ , Z N + = {0}U hamda n R sifatida n −o‘chamli arifmetik Evklid fazo belgilanadi. Endi f : X →Y akslantirishga misollar keltiramiz. 1.1. 2 f f x x : , ( ) . R R → = 1.2. g g x x : , ( ) [ ]. R R → = Bu yerda [ ] x belgi x sonining butun qismi. 1.3. Dirixle funksiyasi D :R R → 1, ( ) 0, \ agar x x agar x ∈ = ∈ Q R Q D (1.7) 1.4. Riman funksiyasi R : R R → , 1 , ( ) 0, \ . m agar x qisqarmas kasr x n n agar x = = ∈ R Q R (1.8) 1.5. Ortogonal proyeksiyalash funksiyasi 2 P R P x y x : , ( , ) R → = . 1.6. Sferik akslantirish 3 2 2 2 1 2 3 1 2 3 S S x x x x x x : , ( , , ) . Ichki to'plam nazariyasi (IST) ning matematik nazariyasi to'plamlar tomonidan ishlab chiqilgan Edvard Nelson ning bir qismi uchun aksiomatik asos yaratadigan nostandart tahlil tomonidan kiritilgan Ibrohim Robinson. Ga yangi elementlar qo'shish o'rniga haqiqiy raqamlar, Nelsonning yondashuvi sintaktik boyitish orqali aksiomatik asoslarni o'zgartiradi. Shunday qilib, aksiomalar yangi "standart" atamasini kiritadilar, bu so'zlar odatiy sharoitlarda kamsitishni amalga oshirish mumkin emas. to'plamlar uchun aksiomalar. Shunday qilib, IST boyitishdir ZFC: ZFC ning barcha aksiomalari barcha klassik predikatlar uchun ma'qul bo'lsa, yangi unary predikat "standart" I, S va T qo'shimcha uchta aksiomalarini qondiradi, xususan, haqiqiy sonlar to'plamidagi mos nostandart elementlarning xususiyatlarini ko'rsatishi mumkin. xususiyatlariga mos keladi cheksiz va cheksiz elementlar. Nelsonning formulasi meta-matematikaning ko'pgina murakkabliklarini qoldirib, oddiy matematik uchun yanada qulayroq bo'ladi. mantiq dastlab cheksiz kichik elementlarni o'z ichiga olgan sanoq tizimlarining izchilligini qat'iyan asoslash talab qilingan.Entsiklopediya site:ewikiuz.top To’plamni tashkil etgan narsa yoki obyektlar shu to’plamning elementlari deyiladi. Masalan, • Guruhdagi Qodirov; • Alfabitdagi B harfi; • Natural sonlar to#plamidagi 10000 soni. Cheksiz to'plamlar Har qanday model berilgan M to'plami ZFC irsiy jihatdan cheklangan to'plamlar yilda M GST aksiomalarini qondiradi. Shuning uchun GST hatto hisoblanadigan mavjudligini isbotlay olmaydi cheksiz to'plam , ya'ni umumiyligi ℵ bo'lgan to'plamdan0. Agar GST nihoyatda cheksiz to'plamga ega bo'lsa ham, GST kimning to'plamini mavjudligini isbotlay olmadi kardinallik bu , chunki GST-da yo'q quvvatning aksiomasi . Shuning uchun GST topraklay olmaydi tahlil va geometriya , va a sifatida xizmat qilish uchun juda zaifdir matematika uchun asos . To‘plamlarning aksiomatik nazariyasi haqida tushunchalar . XX asrning boshiga kelib, Kantorning matematikani standartlashtirish bo‘yicha dasturining asosi bo‘lgan va “to‘plamlarning sodda nazariyasi” deb ham ataluvchi to‘plamlar nazariyasi mukammal emasligi ma’lum bo‘ldi. To‘plamlarning sodda nazariyasini o‘rganish jarayonida Rassel 4 paradoksga5 kelib qoldi. Kantorning to‘plamlar nazariyasi ichki ziddiyatga ega ekanligi Rassel paradoksi sifatida ifodalangan.Rassel paradoksi. Faraz qilaylik, – o‘zini element sifatida o‘zida saqlamagan barcha to‘plamlar to‘plami bo‘lsin. U holda, – o‘zini element sifatida saqlaydimi? Agar bu savolga “ha” deb javob berilsa , to‘plamning aniqlanishiga ko‘ra, u ning elementi bo‘lmasligi kerak – ziddiyat. Agar “yo‘q” deb javob berilsa, yana to‘plamning aniqlanishiga ko‘ra, u to‘plam sifatida ning elementi bo‘lishi kerak – yana ziddiyat. Hozirgi zamon to‘plamlar nazariyasi aksiomalar6 tizimiga asoslangandir. Qandaydir aksiomalarga asoslangan nazariya aksiomatik nazariya deb yuritiladi. To‘plamlarning aksiomatik nazariyasida bunday aksiomalar tizimi sifatida standart tizim hisoblangan Sermelo 7-Frenkel8 aksiomalari tizimini keltirish mumkin. To‘plamlar nazariyasida, ko‘pincha, bu tizimga tanlash aksiomasi deb ataluvchi aksiomani ham qo‘shib olib, tanlash aksiomasi qatnashgan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimi bilan ish ko‘riladi. Bu aksiomalar tizimidan tashqari boshqa aksiomalar tizimlaridan ham foydalaniladi. Masalan, fon Neyman9-Berneys10-Gyodel11 tizimi. To’plamlar ustida amallar Ikkita X va Y to’plamlarning kesishmasi (ko’paytmasi) deb, shunday Z to’plamga aytiladiki, uning har bir elementi X to’plamga ham, Y to’plamga ham tegishli bo’ladi va Z=X∩Y ko’rinishda belgilanadi. Agar Z to’plam X va Y to’plamlarning faqatgina bir martadan ishtirok etgan elementlaridan tashkil topgan bo’lsa, Z to’plamga X va Y to’plamlarning birlashmasi (yig’indisi) deyiladi va Z=X ∪ Y ko’rinishida belgilanadi. X to’plamdan Y to’plamning farqi (ayirmasi) deb, shunday Z to’plamga aytiladiki, uning har bir elementi Xga tegishli bo’lsa, Yga tegishli bo’lmaydi, ya’ni Z=X/Y, bunda a ∈ X va a ∉ Y. Agar X, Y hamda Z to’plamlarning har biri bitta M to’plamning qism to’plamlaridan iborat bo’lsa, M to’plamga universal to’plam deyiladi. Haqiqiy sonlarning har qanday to’plamiga sonli to’plam deyiladi. To’plam tushunchasi aksiomatik holda kiritilgan, shuning uchun ham hech qanday elementar tushunchalar yordamida ta’riflanmaydi. Ammo uni ixtiyoriy tabiatli ba’zi obyektlar birlashmasi majmui deb qarash mumkin. Masalan, • Sinfdagi o’quvchilar; • Alfabit harflari; • Natural sonlar to’plami To’plamlarni katta lotin harflari bilan yoki elementlari berilgan bo’lsa ularni figurali qavs ichiga olib berilgan bo’ladi. Elementlarni o’zlari kichik lotin harflar bilan berish mumkin yoki ba’zi maxsus belgilar bilan beriladi. Masalan, А; {а, b, c}; { ∗ ,s,h,g}; N={1,2,3,4,5,6,7,8, …}. Biror element biror to’plamga tegishliligini belgisi bilan aniqlanadi. Tegishli emas belgi ∉. Masalan, • аА yozuvi a element A to’plamga tegishlidir. • 4 ∉{1,2,3} bu esa 4 soni ko’rsatilgan to’plamga tegishli emas. To’plamlar asosan quyidagicha beriladi: 1. Elementlari ko’rsatib o’tiladi А={а1 , а2 , …, аn }; 2. Ta’rifi beriladi, ya’ni unga tegishli elementlarning hususiyatlari aytib o’tiladi. Masalan, juft sonlar to’plami desak, ya’ni to’plamga tegishli barcha element 2 ga bo’linishi lozimdir.: X va Y to’plamlar bir xil elementlardan iborat bo’lsa, ularga teng to’plamlar deyiladi va Y=X ko’rinishida ifodalanadi. TA’RIF: Agar X to’plam hech qanday elementga ega bo’lmasa, unga bo’sh to’plam deyiladi va X= ∅ ko’rinishda belgilanadi. Qism to’plam. Asosiy sonli to’plamlar TA’RIF. Y to’plamning har bir elementi X to’plamning ham elementi bo’lsa, Y to’plamga X to’plamning qism to’plami deyiladi X⸦Y yoki Y⸧X kabi belgilanadi. belgisi biror to’plamni qismini anglatadi. 1) ∅⊂А ixtiyoriy A to’plam uchun; 2) АА ixtiyoriy А to’plam uchun; 3) ВА bo’lgani bilan АВ emas; 4) Agar АВ va ВА bo’lsa, u holda А=В; 5) Agar А⊂В va В⊂С bo’lsa, u holda А ⊂С. Sonli to’plamlar N={1,2,3,4,…} – Natural sonlar to’plami; Z={…,- 4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} – butun sonlar to’plami, N ⊂Z; Q={x ׀х = p/q , где p∈Z, q ∈N} – Rasional sonlar to’plami(kasr ko’rinishidagi sonlar), N⊂Z⊂Q; R=(-∞;+∞) – Haqiqiy sonlar to’plami, Q ⊂R (rasional sonlardan tashqari irrasional sonlarni ham o’z ichiga oladi. To’plamlar ustida amallar Ikkita X va Y to’plamlarning kesishmasi (ko’paytmasi) deb, shunday Z to’plamga aytiladiki, uning har bir elementi X to’plamga ham, Y to’plamga ham tegishli bo’ladi va Z=X∩Y ko’rinishda belgilanadi.Agar Z to’plam X va Y to’plamlarning faqatgina bir martadan ishtirok etgan elementlaridan tashkil topgan bo’lsa, Z to’plamga X va Y to’plamlarning birlashmasi (yig’indisi) deyiladi va Z=X ∪ Y ko’rinishida belgilanadi.X to’plamdan Y to’plamning farqi (ayirmasi) deb, shunday Z to’plamga aytiladiki, uning har bir elementi Xga tegishli bo’lsa, Yga tegishli bo’lmaydi, ya’ni Z=X/Y, bunda a ∈ X va a ∉ Y. Agar X, Y hamda Z to’plamlarning har biri bitta M to’plamning qism to’plamlaridan iborat bo’lsa, M to’plamga universal to’plam deyiladi. Haqiqiy sonlarning har qanday to’plamiga sonli to’plam deyiladi.Agar o'tgan asrlarda va 20 -asrning boshlarida algebra juda cheklangan miqdordagi algebraik tuzilmalarni o'rgangan bo'lsa, endi algebraning umumiy ta'rifini berish mumkin - ya'ni u yoki bu to'plamlarning xususiyatlari haqidagi fan operatsiyalar va munosabatlar tizimi aniqlanadi. Algebra haqidagi bu qarashning rivojlanishiga katta hissa qo'shgan A.I. Maltsev. Xususan, u bu bo'lim mavzusi bo'lgan algebraik tizim tushunchasini kiritdi. A.I.ning asarlari tufayli. Maltsev aniqlaganidek, algebra va matematik mantiq bir -biri bilan chambarchas bog'liq bo'lgan ikkita fan.Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda algebraik operatsiya berilgan bo‘lsa, u algebra deyiladi. Agar natural sonlar to‘plami N da qo‘shish amali berilgan bo‘lsa, bu to‘plamda berilgan algebra ‹N,+› ko‘rinishda belgilanadi. Demak, algebra berilishi uchun bo‘sh bo‘lmagan to‘plam va unda algebraik operatsiya berilishi lozim ekan. Agar X to‘plam berilib, unda *,º algebraik operatsiyalar berilgan bo‘lsa, ular vositasida berilgan algebra ‹X,*,º› ko‘rinishda bo‘ladi. ‹X,T,º› algebra ‹X,T,*› algebradan º va * algebraik operatsiyalari bilan farq qiladi. Gruppa, halqa, maydon ana shunday algebralar qatoriga kiradi. Quyida gruppa, halqa va maydon kabi algebralarning xossa va xususiyatlarini ko‘rib chiqamiz. 1.1 Algebraik tizimlar, algebralar va modellar 1-ta'rif (nisbat). A to`plamdagi n-ary (n-ary) munosabati-A to`plamning n-kartezian darajasining An to`plami. 2 -ta'rif (algebraik operatsiya). A to'plamda aniqlangan n-ary (n-ary) algebraik operatsiya (yoki oddiygina operatsiya) n-ary funktsiyasi f: An ® A. Xulosa N-ary operatsiyasi uchun n soni f (a n-ary munosabati r) operatsiyaning arity deb ataladi (r munosabati) va n (f) (n (r)) bilan belgilanadi. O'zaro munosabatlarning shakli noldan katta. Operatsion aritlari noldan katta yoki unga teng bo'lgan sonlardir. Arity 0 operatsiyalari-bu bitta elementdan (n-uzunlik 0) tashkil topgan va funktsiyaning qiymati bilan aniqlangan funktsiyalar.Yagona operatsiyalar uchun biz prefiks va postfiks belgilaridan, ikkilik operatsiyalar uchun , qoida tariqasida, infiksdan foydalanamiz. Operatsiyalar va munosabatlarning xususiyatlari Agar A to`plam chekli bo`lsa, bu to`plamdagi algebraik amalni jadval ko`rinishida aniqlash mumkin. Agar operatsiya ikkilik bo'lsa, unda bu ta'rif ayniqsa qulaydir. REJA 1. Naturol sonlar tòplamiga akslantirish pirinsipi KIRISH Agar bir qoidaga muvofiq to`plamning har bir elеmеntiga to`plamning biror elеmеnti mos qo`yilgan bo`lsa, bu qoidaga aks ettirish dеyiladi va yoki ko`rinishida bеlgilanadi. Bunda ga elеmеntining obrazi (aksi), ga esa elеmеntining probrazi (asli) dеb ataladi. to`plam aks ettirishning aniqlanish sohasi , B to`plam esa qiymatlar to`plami dеyiladi. akslantirishda yagona образга эга , lеkin B ning istalgan elеmеnti har doim ham asliga ega bo`lavеrishi asliga ega bo`lganda ham u yagona bo`lishi shart emas. Misollar: odamlar to`plami, musbat ratsional sonlar to`plami bo`lsin. akslantirish har bir odamga uning santimеtrlarda hisoblangan bo`yini mos qo`ysin. U holda odamlar to`plamini ratsional sonlar to`plamiga akslantiradi. Har bir odamga yagona uzunlik mos kеladi , lеkin 1500 sm mos kеluvchi odam mavjud emas , shuningdеk 175 sm ga mos kеluvchi odamlar yagona emas. 2. akslantirish barcha haqiqiy sonlar to`plami ni haqiqiy sonlar to`plami ga akslantiradi. akslantirishga ning obrazini bilan bеlgilaymiz. U holda bo`ladi. Agarda aks ettirish uchun elеmеnt mavjud bo`lib tеnglik o`rinli bo`lsa, ga (o`zgarmas akslantirish) funktsiya dеyiladi. 2-ta'rif: Agar va aks ettirishlar bеrilgan bo`lib uchun o`rinli bo`lsa bu aks ettirishlarni tеng dеyiladi va ko`rinishda bеlgilanadi. Bеrilgan to`plamni to`plamga akslantiruvchi barcha akslantirishlar to`plamini orqali bеlgilaymiz. bo`lsin. U holda tеnglik bilan aniqlangan aks ettirishga ning torayishi esa ning kеngayishi (davomi) dеyiladi. Masalan: dagi akslantirish dagi ning davomidir. 3-ta'rif. Agar aks ettirishga har bir elеmеnt to`plamda kamida bitta aslga ega bo`lsa bunday aks ettirish (s'yurеktsiya) s'yurеktiv aks ettirish dеyiladi. 4-ta'rif. Agar aks ettirishda har bir bittadan ortiq aslga ega bo`lsa (ya'ni dan kеlib chiqsa) bunday aks ettirish (in'еktsiya ) in'еktiv aks ettirish dеyiladi. 5-ta'rif. Biz vaqtida ham s'yurеktiv va ham in'еktiv bo`lgan akslantirish biektsiya (o`zaro bir qiymatli akslantirish) dеyiladi. Misollar: 1) aks ettirish s'yurеktiv ham, inyuеktiv ham emas. Chunki manfiy sonlar birorta ham aslga ega emas. 2) ni qarasak s'yurеktiv bo`ladi 3) in'еktiv bo`ladi. 4) ni qarasak biеktiv akslantirish bo`ladi. Ixtiyoriy 2 ta va aks ettirishlar bеrilgan bo`lsin. 6-ta'rif. Har bir uchun tеnglik bilan aniqlanuvchi aks ettirishga va aks ettirishlarning kompozitsiyasi (supеrpozitsiyasi) (ko`paytmasi) dеyiladi va bilan bеlgilanadi. Agarda bo`lsa, bilan birga kompozitsiyani ham qarash mumkin. Bunda umuman aytganda bo`ladi. Masalan: bo`lsa, u holda va былади. Dеmak . 1-tеorеma. Har qanday aks ettirishlar uchun tеnglik o`rinli. Isboti. Haqiqatdan ham va Bu tеngliklarning chap tomonlari tеngligi ularning o`ng tomonlarining tеngligidan kеlib chiqadi. Bu tеorеma aks ettirishning assosativlik xossasini isbotlaydi. uchun tеnglik bilan aniqlangan aks ettirishga to`plamning ayni akslantirishi dеyiladi. (yoki birlik aks ettirish ham dеb yuritiladi). Tushunarliki, har qanday to`plam uchun aks ettirish biеktsiyadir. Shuningdеk agar bo`lsa, bo`ladi. 7-ta'rif. Agar aks ettirish uchun aks ettirish mavjud bo`lsaki va tеngliklar o`rinli bo`lsa. Bunday aksettirish tеskarilanuvchi ga esa ning tеskarisi dеyiladi. Ta'rifdan ko`rinadiki bu holda ham tеskarilanuvchi va ga ning tеskarisi dеyiladi. 2-tеorеma. Agar aks ettirishning tеskarisi mavjud bo`lsa u yagonadir. Isboti. Faraz etaylik lar ga tеskari bo`lsin, ya'ni . U holda va lardan kеlib chiqadi. Bundan kеyin ga tеskari aks ettirishni bilan bеlgilaymiz. 3-tеorеma. Aks ettirishning tеskarilanuvchi bo`lishi uchun uning biyеktsiya bo`lishi zarur va yеtarlidir. Isboti. tеskarilanuvchi uning tеskarisi bo`lsin, u holda va uchun Bundan elеmеnt elеmеntning asli ekanligi kеlib chiqadi. Dеmak syurеktsiya endi agar biror elеmеntlar uchun bo`lsa, u holda bo`ladi, ya'ni in'еktsiya, shunday qilib biеktsiya ekan. Еtarli ekanligi. Faraz etaylik biеktsiya bo`lsin. U holda har bir uchun yagona asl mavjud. Bundan elеmеnt ning asli ekanligi kеlib chiqadi , ya'ni aks ettirish ga tеskari. To‘plamlar ustida amallar Matematikada juda xilma-xil to‘plamlarga duch kelamiz. Haqiqiy sonlar to‘plami, tekislikdagi ko‘pburchaklar to‘plami, ratsional koeffitsiyentli ko‘phadlar to‘plami va hokazo. To‘plam tushunchasi matematikada tayanch tushunchalardan bo‘lib, unga ta’rif berilmaydi. «To‘plam»so‘zining sinonimlari sifatida «ob’ektlar majmuasi»yoki«elementlar majmuasi»so‘z birikmalaridan foydalaniladi. To‘plamlar nazariyasi hozirgi zamon matematikasida juda muhim o‘ringa ega. Biz uning ayrim xossalarini o‘rganish bilan cheklanamiz. To‘plamlarni lotin alifbosining bosh harflari A,B,L, ularning elementlarini esa kichik - a,b,L harflar bilan belgilaymiz. «a element A to‘plamga tegishli» iborasi «a ∈ A» shaklda yoziladi. «Aa∈/ » yozuv esa a element A to‘plamga tegishli emasligini bildiradi. Agar A to‘plamning barcha elementlari B to‘plamning ham elementlari bo‘lsa, u holda A to‘plam B to‘plamning qismi deb ataladi va A ⊂ B ko‘rinishda yoziladi. Masalan, natural sonlar to‘plami haqiqiy sonlar to‘plamining qismi bo‘ladi. Agar A va B to‘plamlar bir xil elementlardan tashkil topgan bo‘lsa, u holda ular teng to‘plamlar deyiladi va A = B shaklda belgilanadi. Ko‘pincha, to‘plamlarning tengligini isbotlashda A ⊂ B va B ⊂ A munosabatlarning bajarilishi ko‘rsatiladi ([1] ga qarang). Ba’zida birorta ham elementi mavjud bo‘lmagan to‘plamlarni qarashga to‘g‘ri keladi. Masalan, x2 +1= 0 tenglamaning haqiqiy yechimlari to‘plami, 2 ≤ x < 2 qo‘sh tengsizlikni qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlar to‘plami va hokazo. Bunday to‘plamlar uchun maxsus«bo‘sh to‘plam»nomi berilgan va uni belgalashda Ш simvoldan foydalaniladi. Ma’lumki, har qanday to‘plam bo‘sh to‘plamni o‘zida saqlaydi va har qanday to‘plam o‘zining qismi sifatida qaralishi mumkin. To‘plamlarning bo‘sh to‘plamdan va o‘zidan farqli barcha qism to‘plamlari xos qism to‘plamlar deb ataladi. 1.1. To‘plamlar ustida amallar. Ixtiyoriy tabiatli A va B to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Agar C to‘plam faqatgina A va B to‘plamlarning elementlaridan iborat bo‘lsa, u holda C to‘plam A va B to‘plamlarning yig‘indisi yoki birlashmasi deyiladi va C = AU B shaklda belgilanadi (1.1-chizmaga qarang). Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi Aa to‘plamlarning yig‘indisi ham shunga o‘xshash aniqlanadi: Aa to‘plamlarning kamida biriga tegishli bo‘lgan barcha elementlar to‘plami bu to‘plamlarning yig‘indisi deyiladi va bu munosabat a −aU A shaklda belgilanadi.Endi A va B to‘plamlar kesishmasini ta’riflaymiz. A va B to‘plamlarning umumiy elementlaridan tashkil topgan to‘plam ularning kesishmasi deyiladi (1.2-chizmaga qarang) va AI B shaklda belgilanadi. Akslantirishlar. To‘plamlarni sinflarga ajratish Funksiya tushunchasini umumlashtirish. Ma’lumki, matematik analizda funksiya tushunchasi quyidagicha ta’riflanadi: X sonlar o‘qidagi biror to‘plam bo‘lsin. Agar har bir x ∈ X songa f qoida bo‘yicha aniq bir y = f (x) son mos qo‘yilgan bo‘lsa, u holda X to‘plamda f funksiya aniqlangan deyiladi. Bunda X to‘plam f funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi, bu funksiya qabul qiladigan barcha qiymatlardan tashkil bo‘lgan E( f ) to‘plam f funksiyaning qiymatlar sohasi deyiladi, ya’ni E( f ) = {y : y = f (x), x ∈X}.Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi to‘plamlarning kesishmasi –IaAa deb Aa to‘plamlarning barchasiga tegishli bo‘lgan elementlar to’plami tushuniladi. To‘plamlar yig‘indisi va kesishmasi aniqlanishiga ko‘ra kommutativ va assotsiativdir, ya’ni AUB=BUA (AUB)UC=AU(BUC) AIB=BIA (AIB)IC=AI(BIC) Bundan tashqari, ular o‘zaro distributivlik qonunlari bilan bog‘langan (AUB)IC=(AIC)U(BIC) (1.1 ) (AI B) UC = (AU C) I (B U C) (1.2) Akslantirishlar. To‘plamlarni sinflarga ajratish Funksiya tushunchasini umumlashtirish. Ma’lumki, matematik analizda funksiya tushunchasi quyidagicha ta’riflanadi: X sonlar o‘qidagi biror to‘plam bo‘lsin. 1858-1932 yillarda yashab ijod qilgan Italiya olimi Juzeppe Peano boshlang’ich tushuncha sifatida «natural son» va «…dan keyin keladi» munosabatni asos qilib olib, qo’yidagi aksiomalar asosida nomanfiy butun sonlar to’plamini aksiomatik asosda quradi. Peanoning 1-aksiomasi. Hech qanday sondan keyin kelmaydigan 1 soni mavjud. Bundan natural sonlar to’plamida birinchi element 1 sonidan iborat ekanligi kelib chiqadi.Peanoning 2- aksiomasi.Har qanday a natural uchun undan keyin keladigan birgina a 1 soni mavjud Bu natueral sonlar to’plamini cheksiz ekanilgini anglatadi. Peanoning 3-aksiomasi.Istalgan son bevosita bittadan ortiq bo’lmagan sondan keyin keladi. Bu aksioma natural sonlar to’plamining qat’iy tartiblanganligini anglatadi.Peanoning 4-aksiomasi.Agar biror D qoida yoki qonun 1 soni uchun to’g’ri bo’lib, bu qoida yoki qonunni n=k natural soni uchun to’g’ri ekanligidan navbatdagi n=k+1 son uchun to’g’riligi kelib chiqsa, bunday qoida yoki qonun barcha natural sonlar uchun ham to’g’ri bo’ladi.Bu aksiomasi matematik induktsiya akstsomasi deb Yuritiladi va unga matematik induktsiya metodi asoslanadi. 1-Misol Birinchi qatordagi odam ayol kishi ekaniligi ma’lum, n-qatordagi turgan kishi ayol bo’lib n+1-qatordagi turgan kishi ayol ekanligidan qatordagilarni barchasi ayol ekaniligi kelib chiqadi. 2-Misol n natural son bo’lganda 2n-ko’rinishdagi barcha sonlar juft sonlardir xaqiqatan ham 4- akstsomaga ko’ra n=1 da 2 juft son, n=2 k juft son bo’lsa, 2(k+1)=2k+2 juft son. Demak 2 n ko’rinishdagi barcha sonlar n natural son bo’lganda juft sondan iborat ekan. Natural sonlar to’plamida “tenglik” munosabati ko’yidagi xossalarga ega{\displaystyle \mathbb {N} }. XULOSA Agar sonli to‘plamlar o‘rnida ixtiyoriy to‘plamlar qaralsa, u holda funksiya tushunchasining umumlashmasi, ya’ni akslantirish ta’rifiga kelamiz. Bizga ixtiyoriy X va Y to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Agar har bir x ∈ X elementga biror f qoida bo‘yicha Y to‘plamdan yagona y element mos qo‘yilsa, u holda X to‘plamda aniqlangan Y to‘plamdan qiymatlar qabul qiluvchi f akslantirish berilgan deyiladi. Natural son deb sanash (sanoq) uchun ishlatiladigan sonlarga aytiladi. Natural sonlar to'plami {\displaystyle \mathbb {N} } harfi bilan belgilanadi. 2] Natural sonlar qatori cheksizdir. Natural sonlar qatori: 1,2,3,4,5,6,7... [ 0(nol) natural son emas]. 3] Natural sonlar ustida amallar. Reja: 1 Algebraning ta’rifi va misollar, morfizmlar,faktor-algebra. Ma’lumki, odatdagi arifmetika, geometriya ob’yektlari bilan sonli amallarni bog’laydigan chiziqli fazo hamda biror binar munosabat aniqlangan to’plamlar asosida maydon tushunchasi kiritiladi. Barcha bunday strukturalar algebraik Download 0.86 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|