Tosinnanli shamalar

Tosinnanli shamanin’ bo’listiriliwi ham bo’listiriliw funkciyasi.

Bo’listiriliw funkciyasinin’ qa’siyetleri

Tosinnanli shamanin’ aniqlamasina kore, qa’legen B Borel toplami (B∈ ℜ) ushin

Demek, ξ tosinnanli shama (R, ℜ) olshewli ken’islikde

itimalliqlarin aniqlaydi ham ( P_ξ ,R, B) itiamlliq ken’isligin payda qiladi. 1-Aniqlama.


itimalliqlar ξ tosinnanli shamanin’ bo’listiriliwi dep ataladi. Eger B toplam sipatinda (− ∞ , x ) araliqdi alsaq, bunday jag’dayda biz haqiyqiy kosherde aniqlangan
funkciyaga iye bolamiz.
2-Aniqlama. F_ξ (x) funkciya ξ tosinnanlili shamanin’ bo’listiriliw funkciyasi delinedi. Eger tusinbewshilikler keltirip shig’armasa, F_ξ (x) di F(x) korinisinde jazamiz.
Joqaridag’ilardan koriw mumkin bolip, tosinnanlili shamanin’ bo’listiriliw
funkciyasi onin’ bolistiriliwin aniqlaydi ham usi sebepli bolistiriliw ornina kop jag’daylarda bo’listiriw funkciyasi qollaniladi.

1. 
   misal. [ a,b ] kesindige ( [a,b ]⊂ R ) tosinnanlili toshka alinganda, yag’niy
   

[a, b] ga tiyisli qandayda bir toplamga toshkanin’ tusiw itimallig’i bul toplamnin’
Lebeg o’lshemine proportsional bolsin. Bu misal ushin Ω = [a,b] ham ℑ bolsa
[a,b ] dagi Borel toplaminan ibarat, σ –algebasi bolip, ξ tosinnanli shamani to’mendegishe aniqlaymiz:

yag’niy ξ tosinnanlili shama taslangan toshkanin’ [ a,b] kesindidegi ma’nisine ten’ bolip, olshemli funkciya boladi. Eger x < a bolsa,

boladi. Endi [ x∈a,b ] bolsin.
Bunday jag’dayda (ξ < x) qubilis juz bergende toshka [a,x ) intervalga tusedi. Bul intervalga tusiw itimalligi onin’ uzinligina proportsional, yag’niy

Eger х >b bolsa, F (x)= 1boladi. Demek, F(x) bolistiriliw funkciyasi to’mendegi korinisge iye boladi:

0 , 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥 ≤ a

F(x) = {
^𝑥−𝑎 , 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑎
𝑏−𝑎
1 , 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥 > b
< x

Joqaridagi bo’listiriliw funkciyasi menen aniqlangan ξ tosinnanlili shama [a,b ] araliqda tegis bo’listirilgen dep ataladi.

Endi bolistiriliw funkciyasi qa’siyetlrin keltiremiz. ξ tosinnanlili shamanin’ bo’listiriliw funkciyasi F (x) bolsin. Bunday jag’dayda F(x) to’mendegi qa’sietlerge iye:

F1. eger x₁ ≤ x₂ bolsa, bunday jag’dayda F( x₁) ≤ F(x₂) (monotonliq qa’siyeti); F2.

(shegaralanganliq qa’siyeti);
F3.
(shepden uzliksizlik qa’siyeti).
Da’lilleniwi. x₁ ≤ x₂ ushin

bolganligi sebepli F1 qa’siyetinin’ itimallig’I 3) qa’sietinen kelip shig’adi. F2 qa’siyetin da’lillew ushin tomendegi {x_n } ham {y_n } sanli izbe-izliklerdi

kiritemiz: { x_n } kemeyiwshi izbe-izik bolip, x_n →−∞ ham { y_n } osiwshi

izbe-izlik bolip, y_n →+∞ bolsin.

kopliklerdi kiritemiz. x_n ↓−∞ ekenlig’inen A_n kopliller izbe-izligi monoton kemeyiwshi ham ∩A_n =∅ boladi. Itimalliqtin’ uzliksizlik aksiomasina tiykarlanip n→∞ da P_n (A) → 0. Bunday jag’dayda

Bunnan F(x) funkciya monotonliginan
ekenligi kelip shig’adi. {y_n } izbe-izlik n→∞ da +∞ ge monoton jaqinlasiwshi bolganlig’i ushin B_n koplikler izbe-izligi de osiwshi boli, UB_n =Ω boladi.
Itimalliqtin’ qa’siyetine tiykarlanip n→∞ da P( B_n )→ 1 boladi. Bunnan

qatnaslar kelip shig’adi.

F3 qa’siyetin da’lillew ushin

qubilislardi kiritemiz. {x_n } izbe - izlik osiwshi bolip, U A_n =A boladi.

Bunnan

ten’lik kelip shig’adi. Soni aytip otiw kerek bolip, bo’listiriliw funkciyasin

dep alsaq, bunday jag’dayda ol on’nan uzliksizlik qa’siyetine iye bolar edi. Biraq, joqaridag’iday tan’langan F(x )on’nan uzliksiz bola almaydi, sebebi uzliksizlik aksiomasina kore
Bul bolsa, oz nawbetinde, F(x ) din’ uzliksiz boliwi ushin qa’legen x lar ushin

orinlaniwi zarur ham jeterli ekenlig’in korsetedi. Keltirilgen qatnaslardan tomendeg'i kelip shig'adi :

Тeorema. Eger F(x) funksiya F1, F2 ham F3 qa'siyetlerge iye bolsa, bunday jag’dayda sonday ( Ω, ℑ,P) itimalliqlar ken’islig’i ham onda aniqlangan ξ tosinnanlili shama bar bolip
boladi. Endi kop ushraytugin bo’listiriliwlerge misallar keltiremiz.

3. 
   misal. ξ tosinnanlili shama “birlik” bolistiriliwge iye bolip, eger qandayda haqiyqiy san ushin
   

bolsa. Bul bo’listiriliw ushin bolistiriw funkciyasi to’mendegishe boladi:

F(x) =
0, 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥 ≤ a
^{ 1, 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥 > a

3. 
   misal. Eger ξ tosinnanlili shama 0,1,2,... ma’nislerdi
   

itimalliqlar menen qabil qilsa, oni Puasson nizami boyinsha bolistirilgen tosinnanlili shama delinedi.Onin’ bo’listiriw funkciyasi to’mendegishe aniqlanadi:

3. 
   misal. Eger ξ tosinnanlili shamanin’ bo’listiriw funkciyasi
   

korinisinde bolsa, bunday tosinnanlili shama (a , σ²) parametrler menne normal bolistirilgen tosinnanlili shama delinedi. Bul jerde σ >0 , −∞< a <∞ ozgermes sanlar. Eger σ=1, a=0 bolsa, bunday bo’listirilgen tosinnanlili shama standart

normal bo’listiriliwge iye delinedi ham onin’ bo’listiriw funkciyasi

boladi. Bul

ten’likti teksirip koriw qiyin emws. Bunnan a ham σ lar saykes turde bolistiriwdin’ “jiljiwi” ham “mashtabi” parametrleri manilerine iye boliwi kelip shig’adi.

3. 
   misal. Eger ξ tosinnanlili shama 1,2,... ma’nislerdi
   

itimalliqlar menen qabil qilsa, oni geometrik nizam boyinsha bo’listirilgen tosinnanlili shama delinedi. Onin’ bo’listiriw funkciyasi