Тщртинчи ыисм

150 masala. Oz o`qiga nisbatan inertsiya momenti J<sub>z</sub> bo`lgan, tsilindrsimon vertikal rotor (323 shakl), unga qo`yilgan M<sub>bur</sub> burovchi moment ta`sirida aylanma harakat oladi. Agar ₀=0 va havoning qarshiligi  -ga proportsional, ya`ni M<sub>qarsh</sub>= bo`lsa, rotorning burchakli tezligi  -ning aylanishdagi qonuni aniqlansin.
Y e ch i sh. Aylanayotgan rotorning differentsial tenglamasi (66) formulaga ko`ra (aylanish tomonga yo`nalgan momentlar musbat ishorali bo`ladi) quyidagicha bo`ladi: J_O =M_bur-
O`zgaruvchilarni ajratib, /J<sub>z</sub>=n deb belgilaymiz va tenglikning ikkala tomonidan aniq integrallar olamiz, natijada: h-n , Bundan, ln =-nt yoki =e<sup>-nt</sup> Bundan oxirgi natijani olamiz, ya`ni: = (1- e^-nt) (a) . Rotorning burchakli tezligi o`zining chegaraviy: <sub>cheg</sub>=M<sub>bur</sub>/ (b) qiymatiga intilib, vaqt mobaynida ortib boradi, yuqorida aytilgan o`xshatishlar, ya`ni massasi m bo`lgan moddiy nuqtaning = aktiv va =- qarshilik kuchi ta`sirlaridagi to`g`ri chiziqli harakati misol bo`ladi. Shunga asosan nuqtaning to`g`ri chiziqli harakatidagi v -tezligi uchun (a) va (b) formulalardan quyidagi javobni olamiz: v=(F/)(1-e^-nt), bu erdagi n=/m va v_cheg=F/.

30-Mavzu: Fizik mayatnik. Inertsiya momentlarini tajriba orqali aniqlash.

Fizik mayatnik deb, og`irlik kuchi ta`sirida qo`zg`almas gorizontal o`q atrofida tebranma harakat qilishi mumkin bo`lgan qattiq jismga aytiladi.

Mayatnikni aylanish o`qiga perpendikulyar bo`lgan va mayatnikning og`irlik markazi S nuqtadan o`tuvchi tekislik bilan kesamiz (324, a shakl).

Quyidagicha belgilashlar kiritamiz: R -mayatnikning og`irligi, a-og`irlik markazidan aylanish o`qigacha bo`lgan OS masofa, J_O -mayatnikning aylanish o`qiga nisbatan inertsiya momenti. Mayatnikning holati, OS chiziqning vertikal bilan tashkil etgan  burchak orqali aniqlanadi.
Mayatnikning tebranish qonunini aniqlash uchun aylanma harakatning differentsial tenglamasidan, ya`ni (66) formuladan foydalanamiz. Ushbu masalada M_z=M_O=-Rasin (manfiy ishoraning sababi shuki, >0 bo`lsa moment manfiy va <0 bo`lsa moment musbat bo`ladi), natijada (66) tenglama, quyidagi ko`rinishga keladi: J_O =-Rasin. Tenglamaning ikkala tomonini J_O -ga bo`lib yuborsak va Ra/J<sub>O</sub>k<sup>2</sup>, (67) belgilashni kiritsak, mayatnikning tebranma harakati differentsial tenglamasini hosil qilamiz: + k<sup>2</sup>sin=0.
Ushbu differentsial tenglama oddiy funktsiyalar orqali integrallanmaydi. SHu sababli,  ning kichkina qiymatlarida taqriban sin ekanligini e`tiborga olib, mayatnikning kichkina tebranishlarini o`rganish bilan chegaralanamiz. U holda yuqoridagi tenglama quyidagi ko`rinishga keladi: + k²=0
Ushbu differentsial tenglamaning ko`rinishi, moddiy nuqtaning to`g`ri chiziqli erkin tebranishlarining differentsial tenglamalariga o`xshaydi, shu sababli §94 dagi (68) tenglikning umumiy echimiga o`xshash bo`lgan echimni olamiz: =C₁sinkt+C₂coskt.
Boshlang`ich vaqtda, ya`ni t=0 da mayatnikni =₀ bo`lgan kichkina burchakka og`dirib, so`ngra boshlang`ich tezliksiz (=0) qo`yib yuborilgan deb hisoblab, tenglamadagi integral doimiylarini aniqlaymiz, ular S<sub>1</sub>=0, S<sub>2</sub>=<sub>0</sub> bo`ladi. U holda, mayatnikning kichkina tebranishlarining shunday boshlang`ich shartlar bo`yicha harakat tenglamasi: =₀coskt.
Demak, fizik mayatnikning kichkina tebranishlari garmonik bo`lar ekan. Agar k -ning (67) dagi qiymatini keltirib qo`ysak, fizik mayatnikning tebranish davri kelib chiqadi: T_f=2/k=2 , (68)
Ko`rinib turgandek, kichkina tebranishlardagi tebranish davri boshlang`ich og`ishlik <sub>0</sub> ta`sir qilmas ekan. Bunday natija taqribiy hisoblanadi.Agar, olingan differentsial tenglamadagi  ni kichkina emas deb hisoblab ( ni sin bilan almashtirmasdan) integrallasak, T_f ning qiymati ₀ ga bog`liq bo`ladi. Ushbu bog`lanishlik taxminan quyidagicha bo`ladi: T_f2 (1+ /16). Masalan, ₀=0,4 rad (25) bo`lganda (68) formuladagi xatolik 1% ni tashkil etar ekan.
Olingan natijalar, matematik mayatnik deb ataluvchi, ya`ni uzunligi l -ga teng bo`lgan va uning massasi yukning massasiga nisbatan hisobga olinmaydigan, hamda cho`zilmaydigan ipga (324, b shakl), osib qo`yilgan kichkina hajmda bo`lgan (moddiy nuqta deb hisoblash mumkin bo`lgan) yukdan iborat jismning tebranishlarini ham o`z ichiga oladi. Matematik mayatnik, bitta moddiy nuqtadan iborat sistema bo`lganligi uchun: J<sub>O</sub>=ml<sup>2</sup>=(R/g)l<sup>2</sup> . OS=a. Bularni (68) tenglikka keltirib qo`ysak, matematik mayatnikning tebranish davrini aniqlash formulasini olamiz: T_m=2 (68`), (68) va (68`) formulalarni solishtirsak, uzunligi: l₁=J_Og/Ra=J_O/Ma (69) bo`lgan ipga osilgan R yukdan iborat matematik mayatnikning va og`irlik markazidan a -masofadagi o`q atrofida tebranayotgan, shu og`irlikdagi fizik mayatnikning tebranish davrlari o`zaro teng bo`lar ekan. Ipning ushbu l₁ - uzunligini, fizik mayatnikning keltirilgan uzunligi deb ataladi.
Fizik mayatnikning aylanish o`qidan OK=l<sub>1</sub> masofada joylashgan K nuqtasini, tebranish markazi deb ataladi (324 shakl).
Gyuygens teoremasiga asosan J<sub>O</sub>=J<sub>S</sub>+Ma<sup>2</sup>, bo`lganligi uchun, (69) formula quyidagi ko`rinishga keladi: l<sub>1</sub>=a+J<sub>S</sub>/Ma (69`)
Demak, OK masofa har doim OS=a dan katta bo`ladi, ya`ni fizik mayatnikning tebranish markazi har doim, uning og`irlik markazidan pastroqda joylashar ekan.
(69`) formuladan ko`rinib turgandek KS=J<sub>C</sub>/Ma. Shu sababli, aylanish o`qini K nuqtaga ko`chirsak, hosil bo`lgan mayatnikning keltirilgan l₂ - uzunligi (69`) formulaga asosan: l<sub>2</sub>=KC+J<sub>C</sub>/(MKC)= J<sub>C</sub>/Ma+ahl<sub>1</sub> bo`ladi. Demak, K va O nuqtalar o`zaro almashinuvchi nuqtalar bo`ladi, ya`ni aylanish o`qi K nuqtadan o`tsa, O nuqta tebranish markazi bo`ladi (chunki l₁=l₂) va mayatnikning tebranish davri o`zgarmaydi. Mayatnikning bunday xossasi, og`irlik kuchining tezlanishini aniqlashda foydalaniladigan, almashinuvchi deb ataladigan mayatnikda qo`llaniladi,

Inertsiya momentini tajriba orqali aniqlash. Jismlarning inertsiya momentlarini tajriba (mayatnik tebranishlari usuli) orqali aniqlash, (68) formula orqali tebranish davrini aniqlashga asoslangan.
M asalan, 325 shaklda tasvirlangan R og`irlikdagi jism (shatun)ning Oz o`qiga nisbatan inertsiya momentini aniqlash zarur bo`lsin. Jismning gorizontal holda yo`nalgan Oz o`qiga osib, kichkina tebranishlar beramiz va sekundomer yordamida uning tebranish davri T -ni aniqlaymiz. So`ngra tortib ko`rish usuli bilan (§43 dagi 108 shaklga q.) OS=a (ya`ni og`irlik markazigacha bo`lgan -tarj) masofani aniqlaymiz. Ushbu qiymatlarni (68) formulaga keltirib qo`ysak: J<sub>Oz</sub>=RaT<sup>2</sup>/4<sup>2</sup>.
Agar, og`irlik markazidan o`tuvchi Ox o`qiga nisbatan inertsiya momentini aniqlash zarur bo`lsa, u holda jismni ikkita shtangaga (sterjenga) mahkamlaymiz va shu shtangalarning ikkinchi uchidan o`tuvchi AV (bu, a - masofa ekanligini bildiradi) o`qqa osib qo`yamiz. SHunga e`tibor berish lozimki jismning o`qi gorizontal holatda bo`lishligi kerak (326 shakl).
Yuqoridagi tajriba orqali AV o`qqa nisbatan inertsiya momentini aniqlaymiz, So`ngra izlanayotgan inertsiya momentini Gyugens teoremasi orqali aniqlaymiz: J_ox=J_AV-R/g)a².