Тщртинчи ыисм

151 masala. Bir jinsli yaxlit tsilindr  burchak ostidagi qiyalikdan pastga qarab dumalab tushib kelmoqda (328 shakl). Sirpanishsiz dumalash mumkin bo`lgan quyidagi ikki holat: 1)dumalashdagi qarshilikni hisobga olmagan holdagi; 2*)dumalashdagi qarshilikni hisobga olingandagi (dumalashdagi ishqalanish koeffitsienti k va tsilindrning radiusi R ma`lum); uchun, tsilindr markazining tezlanishini va tsilindr bilan tekislik orasidagi ishqalanish koeffitsienti f -ning eng kichik qiymati aniqlansin.

Y e ch i sh. 1.Tsilindrga qo`yilgan kuchlarni shaklda tasvirlaymiz: og`irlik kuchi =m , sirpanishsiz dumalash uchun zarur bo`lgan eng kam bo`lgan ishqalanish kuchi , dumalashdagi qarshilikni hisobga olinmagan holda, tekislikning urinish nuqtasiga qo`yiladigan reaktsiyasi . Ox o`qini qiya tekislik bo`ylab (harakat tomonga -tarj), Ou o`qni unga perpendikulyar ravishda yo`naltiramiz.

Tsilindrning massasini markazi Ou o`qi bo`ylab harakatlanmaganligi uchun, a_Su=0 bo`ladi va (71) tenglamalarning birinchisidan: N-Rsos=0, bundan N=Rsos
(71) sistemaning qolgan tenglamalarini tuzishda, a<sub>Sx</sub>ha<sub>S</sub> va burovchi moment harakat tomnga yo`nalganda uning ishorasini musbat deb olinishini hisobga olib, quyidagilarni aniqlaymiz: ma_C=Rsin-F, J_C=FR (a). (a) tenglamalar uchta a_S,  va F (bu erda F=fN, deb hisoblash mumkin emas, chunki bunday holda jism tekislik ustida sirpanib harakat qiladi, sirpanish yo`q bo`lgan holatda esa FfN bo`ladi, §23 ga q.) noma`lum qiymatlarga ega. Shuning uchun, sof dumalashdagi S nuqtaning tezligi v_C=R va undan olingan hosila a_S=R ekanligidan foydalanib, qo`shimcha tenglama olamiz. U holda, yaxlit tsilindr uchun J<sub>C</sub>=mR<sup>2</sup>/2 ekanligini hisobga olib, (a) tenglamalarning ikkinchisidan, ma<sub>S</sub>/2=F, (b). A -ning ushbu qiymatini (a) dagi birinchi tenglamaga keltirib qo`ysak: a_S=(2/3)gsin (v). Endi, (b) tenglamadan: F=(R/3)sin (g)
Tsilindr sirpanmasdan dumalab harakat qilishi uchun, zarur bo`lgan eng kichkina ishqalanish kuchi F -ning qiymatini aniqladik. Yuqorida FfN ekanligi aytib o`tilgan edi. Demak, sof dumalash sodir bo`lishi uchun, (R/3)sinfRsos yoki f(tg)/3, bo`lishi shart. Agar ishqalanish koeffitsienti bundan kichkina bo`lsa, u holda F kuchining qiymati (g) tenglama orqali aniqlanadigan qiymatni olishi mumkin emas va tsilindr qisman sirpanib dumalaydi. Bu holda, v<sub>C</sub> va  lar v<sub>C</sub>=R tenglik orqali (tsilindrning tekislikka urinish nuqtasi oniy aylanish markazi bo`la olmaydi) bog`lana olmaydilar, ammo F -o`zining chegaraviy qiymatini oladi, ya`ni F=fN=fRsos, va (a) tenglama quyidagi ko`rinishga keladi: (R/g)a_C=R(sin-fsos), RR²/2g=fRR sos, bundan: a_S=g(sin-fsos); =(2gf/R)sos (d)
Bunday holda, tsilindrning markazi a_S tezlanish bilan, tsilindrning burchakli tezlanishi esa  harakat qiladi, va ularning son qiymatlari (d) tenglamalar orqali aniqlanadi.
2*. Dumalanishdagi qarshilikni hisoblashda, tekislikning normal reaktsiya kuchi , harakat tomonga qarab, (o`ziga parallel holda, 308, b shaklga q.) k masofaga siljigan bo`ladi, va uning S markazga nisbatan momenti -kN bo`ladi. U holda, (a) tenglamalarning ikkinchisi quyidagi ko`rinishga keladi: J_C=FR-kN yoki mR²/2g=FR-kN, (e)
Qolgan tenglamalar o`z kuchini saqlab qoladi, ya`ni ilgarigi holicha qoladi: N=Rsos, ma_C=Rsin-F (j). Ushbu holatda a_ShR ekanligini e`tiborga olib, (a) va (j) tenglamalardan, masalaning javobini olamiz, a_S= g(sin- sos), F= (sin+ sos).

Bundan so`ng, FfN tengsizlik orqali, sirpanmasdan sof dumalanish uchun zarur bo`lgan ishqalanish koeffitsientining qiymati f -ni aniqlaymiz, ya`ni f [(tg)/3+2k/3R].

152 masala. Radiusi R bo`lgan g`adir-budir tsilindrik sirt ustida (329 shakl), radiusi r bo`lgan bir jinsli tsilindr, <sub>0</sub> orqali aniqlanadigan boshlang`ich holatdan boshlab dumalab harakatlanmoqda. Dumalashdagi qarshilikni hisobga olmagan holda, ₀ ning kichkina qiymatlari uchun, tsilindrning harakat qonuni aniqlansin. Hamda, agar tsilindrning sirtga ishqalanish koeffitsienti f bo`lsa, <sub>0</sub> ning qaysi qiymatlarida, sirpanishsiz dumalash sodir bo`lishligi aniqlansin.
Y e ch i sh. Tsilindrning pastga qarab qilgan harakatini ko`rib chiqamiz (harakat vertikal tekislikda sodir bo`ladi).  -ning ixtiyoriy holatida, tsilindrga uning og`irlik kuchi =m , sirpanib ishqalanish kuchi va reaktsiya kuchi ta`sir etadi. Tsilindrning S markazidan uning traektoriyasiga(harakat yo`nalishi tomonga qarab) S - urinma o`tkazamiz. Tsilindr uchun J_C=mr²/2 ekanligini e`tiborga olib, (72) tenglamaning birinchi va uchinchi tenglamasini tuzamiz, M hmgsin-F, =Fr, (a) bu yerdagi  -tsilindrning burchakli tezligi.
Barcha tezliklarni -orqali ifodalab olamiz. Oniy tezliklar markazi K nuqtada joylashganligini va tsilindrning pastga qarab qilgan harakatida uning  burchagi kamayib borayotganligi sababli, <0 bo`lishini e`tiborga olsak, = v<sub>C</sub>/rh-(R-r) /r. v<sub>C</sub> va  ning ushbu qiymatlarida, (a) tenglamaning ko`rinishi: m(R-r) =-mgsin+F, m(R-r) =-2F (b)
(b) dagi tenglamalardan F -ni yo`qotib yuborib, S markazining harakatini aniqlovchi, differentsial tenglamaning oxirgi ko`rinishini yozamiz, +k²sin=0 k²=2g/3(R-r).
Tsilindrning harakatida   ₀ bo`lganligi uchun, <sub>0</sub> kichkina qiymatlarida taqriban sin deb hisoblash mumkin bo`ladi. U holda, bizga tanish bo`lgan garmonik tebranma harakatning differentsial tenglamasini olamiz. +k<sup>2</sup>=0 (v)
Ushbu masalada, t=0 da =<sub>0</sub> va =0 bo`ladi. Ushbu boshlang`ich shartlarga asosan (v) tenglamani integrallasak, tsilindrning kichkina tebranishlarining qonunini aniqlaymiz: =<sub>0</sub>soskt. (g) . Tebranishlar davri: =2/k=2
Endi FfN asosan, sirpanmasdan dumalanish shartini aniqlaymiz (§23 ga q.). F -ning qiymatini (b) tenglamalarning ikkinchisi orqali hisoblaymiz: F=-m(R-r) /2. Lekin, (v) tenglamaga asosan =-k<sup>2</sup> va k<sup>2</sup>=2g/3(R-r) ekanligini hisobga olsak, F=(mg/3).
E`tiborni endi shunga qaratish lozimki,  -ning kichkina qiymatlarida, tsilindr dumalayotgan sirtning bir qismi uchun, taqriban NhRhmg va gorizontal tekislikda dumalayotganday deb qarash mumkin ekan. U holda FfN tengsizlikdan  3f bo`lishligini aniqlaymiz.  -ning eng katta qiymati faqat <sub>0</sub> bo`lishi mumkinligi sababli, agar ₀3f bo`lsa, tsilindrning kichkina tebranma harakatlaridagi dumalashi sirpanishsiz sodir bo`lar ekan.
153 masala. Og`irligi R bo`lgan jism V nuqtada, bosim kuchini o`lchovchi priborning phezoelektrik datchigiga tayanib turar ekan, A nuqtada esa, AD ipga osib qo`yilgan (330 shakl). Muvozanat holatda AS chizig`i gorizontal, va V nuqtadagi bosim kuchi esa Q<sub>0</sub> bo`ladi. Agar ipni yondirib yuborilgan paytda, V nuqtaning shu ondagi bosim kuchi Q₁ ga teng bo`lsa, jismning massa markazi S nuqtadan o`tuvchi o`qqa nisbatan inertsiya momenti J<sub>C</sub> aniqlansin. Masofa -l- berilgan.
Y e ch i sh. 1. Muvozanat holatda Q<sub>0</sub>l=R(l-b). Bundan b=(R-Q<sub>0</sub>)l/R bo`ladi.
2. Ip kuydirib yuborilganda, jism tekislikka parallel harakat qila boshlaydi. Boshlang`ich elementar vaqt uchun, jismning holatini saqlab turaylik. U holda (71) tenglama faqat shu elementar vaqt uchungina o`rinli bo`ladi, va uning ko`rinishi: Ma_Sx=R-Q₁, a_Cy=0, J_C=Q₁b (a) bo`ladi. a<sub>Su</sub>h0 bo`lganligi sababli, S nuqta vertikal ravishda pastga qarab harakat qiladi, V nuqta esa gorizontal bo`yicha sirpanadi (tayanchdagi ishqalanishni, juda kichkina deb hisoblaymiz). Shu harakatlarga perpendikulyarlar o`tkazib, oniy tezliklar markazi bo`lgan K nuqtaning o`rnini aniqlaymiz. Shu sababli, v_Chb bo`ladi. Bu tenglikni differentsiallab va shu elementar vaqt uchun bhsonst deb hisoblasak a<sub>S</sub>hb bo`ladi. U holda, (a) tenglamalarning birinchisidan: Rb=(R-Q₁)g. Bundan  ning qiymatini aniqlab, so`ngra: J<sub>C</sub>=Q<sub>1</sub>b/=RQ<sub>1</sub>b<sup>2</sup>/(R-Q)g.
Yuqoridagi olingan natijalardan, jismlarning inertsiya mometlarini tajriba usuli bilna aniqlashda foydalanish mumkin bo`ladi.