Tub sonlar bilan boʻgʻliq boʻlgan baʼzi bir masalalar

3.Tub modul bo`yicha ixtiyoriy darajali taqqoslamalar
Ushbu , (a;p)=-1 taqqoslamaning moduli yetarlicha katta bo‘lganda Eyler kriteriysidan foydalanish unchalik qulay emas. Bunday hollarda Lejandr simvoli deb ataluvchi va kabi ataluvchi simvoldan foydalaniladi.
6-Ta‘rif. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi simvol Lejandr simvoli deyiladi:

simvol a sondan p bo‘yicha tuzilgan Lejandr simvoli deb ataladi, bu yerda a Lejandr simvolining surati, p esa Lejandr simvolining maxraji deyiladi.

Ma‘lumki, ekanligiga qarab, a kvadratik chegirma yoki kvadratik chegirmamas bo‘ladi. Demak, Lejandr simvoli va Eyler kriteriylarga asosan, quyidagini yoza olamiz:

. (10)

Endi Lejandr simvolining quyidagi ba‘zi bir xossalarini ko‘rib chiqamiz:

1-xossa.

(11)
Haqiqatan, bitta sinfning elementlari berilgan modul bo‘yicha yo kvadratik chegirma yoki kvadratik chegirmamas bo‘ladi. Bunga asosan, (10) ning to‘g‘riligi kelib chiqadi. Bu xossadan foydalanib, har qanday uchun quyidagini yoza olamiz:

bo‘lgani uchun bo‘ladi.
2-xossa.
.
Haqiqatan, taqqoslama doimo yechimga ega bo‘lib, uning yechimidir.
3-xossa.

(10) taqqoslamaga asosan quyidagini yoza olamiz:
(12)
Lekin larning qiymati dan farqli emas. Shu bilan bir vaqtda p tub son bo‘lgani uchun 1 va -1 lar shu modul bo‘yicha taqqoslanuvchi bo‘la olmaydi. Demak, lar bir vatda 1 ga yoki -1 ga teng bo‘ladi.
4-xossa.

Isboti. (10) taqqoslamaga asosan quyidagini yozish mumkin:

yoki


taqqoslamaning ikki qismi a va b lar p modul bo‘yicha kvadratik chegirma yoki kvadratik chegirmamas bo‘lsa, 1 ga, a va b larning biri p modul bo‘yicha kvadratik chegirma, ikkinchisi esa kvadratik chegirmamas bo‘lsa, -1 ga teng. Shuning uchun tenglikni yoza olamiz. Bu xossadan quyidagi natijalar kelib chiqadi:
1-natija.
2-natija. Juft sondagi kvadratik chegirmalar yoki kvadratik chegirmamaslar ko‘paytmasi doimo kvadratik chegirma bo‘ladi. Toq sondagi kvadratik chegirmamaslar ko‘paytmasi yana kvadratik chegirmamas bo‘ladi.
5-xossa.
Biz bu xossani isbot qilib o‘tirmasdan undan amaliy mashg‘ulotlarda foydalanishning ba‘zi bir tomonlarini ko‘rsatib o‘tamiz.
a) shakldagi tub son bo‘lsin. U holda

Bo‘lgani uchun
b) shakldagi tub son bo‘lsa,

bo‘ladi. Demak, shakldagi tub son bo‘lsa, 2 son p modul bo‘yicha kvadratik chegirmamas bo‘ladi, ya‘ni
6-xossa. O‘zarolik qonuni. Agar p va q lar har xil toq tub son bo‘lsa,
(13)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Bu xossani ham isbot qilmasdan uning amaliy mashg‘ulotlarda qo‘llanishini ko‘rsatamiz. Buning uchun (4) ning har ikkala qismini ga ko‘paytiamiz:
(14)
bu yerda (14) tenglikka asosan, p va q larning kamida bittasi 4m+1 shakldagi son bo‘lsa, bo‘lib, hosil bo‘ladi.
Agar p va q larning har biri 4m+3 shakldagi tub son bo‘lsa, u holda (-1) ning darajasi toq son bo‘lib, bo‘ladi.