Tub sonlar bilan boʻgʻliq boʻlgan baʼzi bir masalalar

4.Lejandr va Yakobi simvallari.
Tub modulli yuqori darajali taqqoslamalar. Koeffitsientlari butun sonlardan iborat f(x)= a0 xn+ +a1xn-1 ...an-1x+an ko`phad berilgan bo`lsin
7-Ta’rif. Ushbu
f(x)0(modm) (15)
(a0 son m ga bo`linmaydi, aiZ, m1) ko`rinishdagi taqqoslamani bir noma’lumli n- darajali taqqoslama deyiladi.
8-Ta’rif. Agar x=c bo`lganda
f(c)0(modm) (16)
taqqoslama to`g`ri bo`lsa, u holda c son (1) taqqoslamani qanoatlantiradi deyiladi.
11-Teorema. Agar c son (1) taqqoslamani qanoatlantirsa, u holda chegirmalar sinfiga tegishli ixtiyoriy son ham (1) taqqoslamani qanoatlantiradi.
9-Ta’rif. Agar c son (1) taqqoslamani qanoatlantirsa, u holda chegirmalar sinfi (1) taqqoslamaning yechimi deyiladi.
m modul bo`yicha barcha chegirmalar sinfi bo`ladi. Demak, m modulli taqqoslamani qanoatlantiruvchi sonlarni 0,1,2,..., m-1 sonlar ichidan qidirish lozim.
10-Ta’rif. Yechimlari to`plami ustma-ust tushgan taqqoslamalarni teng kuchli taqqoslamalar deyiladi. Agar (15) taqqoslamaning ikki qismiga ixtiyoriy ko`phad qo`shilsa yoki har ikki qismini m Modul bilan o`zaro tub bo`lgan k songa ko`paytirilsa, yoki ikki qismi va modulini k natural songa ko`paytirilsa, u holda hosil bo`lgan taqqoslama berilgan taqqoslamaga teng kuchli bo`ladi.
11-Ta’rif. Ushbu
axb(modm) (a,bZ,mN) (17) ko`rinishdagi taqqoslamaga bir noma’lumli birinchi darajali taqqoslama deyiladi.
12-Teorema. Agar (a;m)=1 bo`lsa, u holda (17) taqqoslama yagona echimga ega bo`ladi.
13-Teorema. Agar (a; m)=d bo`lib, b son d ga bo`linmasa, u holda (17) taqqoslama echimga ega emas.
14-Teorema. Agar (17) taqqoslamada (a; m)=d bo`lib, b son d ga bo`linsa, u holda (17) taqqoslama soni d ga teng bo`lgan ushbu
(18)
yechimlarga ega bo`lib, bundagi  echim
Endi tub modulli yuqori darajali taqqoslamalarni qaraylik. 9,10-ma’ruzalardagi taqqoslamalarning, 10-xossasiga asosan, har qanday murakkab modulli taqqoslamalarni har doim tub modulli taqqoslamalarga keltirish mumkin. Tub modulli taqqoslamalar ustida ish ko`raylik.
12-Ta’rif. Agar f(x) = a0xp+a1xn-1 +...+an-1 x+an, aiZ, r-tub son, a0 son r ga bo`linmasa, u holda ushbu
f(x) 0(mod p) (19)
taqqoslamaga tub modulli p-darajali bir nomatьlumli taqqoslama deyiladi.
15-Teorema. Agar (19) taqqoslamada a0 bosh koeffitsient r ga bo`linmasa, u holda (19) taqqoslama bosh koeffitsienta 1 ga tent bo`lgan boshqa bir taqqoslamaga teng kuchli bo`ladi.
16-Teorema. Agar f(x) va g(x) koeffitsientlari butun sonlardan iborat ko`pxadlar bo`lsa, u holda
f(x) 0(mod p), (20)
f(x)-(xp-x)g(x) 0(modp) (21)
taqqoslamalar teng kuchli bo`ladi.