Tub sonlar bilan boʻgʻliq boʻlgan baʼzi bir masalalar

Eyler kriteriyasi. Agar (a; r)=1 bo`lib, 1(modp) bo`lsa, u holda (28) taqqoslama ikkita echimga ega bo`ladi, -1(modp) bo`lsa, u holda (28) taqqoslama echimga ega bo`lmaydi. (28) taqqoslamada r Modul etarlicha katta son bo`lganda Eyler kriteriyasidan foydalanish unchalik qulay emas. Bunday holda Lejavdr simvolidan foydalanish yaxshi natija beradi.
Ikkihadli taqqoslamalar. Indekslar jadvali va uning tatbidlari.
Biz p tub modul bo’yicha ildiz mavjudligini bilamiz. Malumki son modul bo’yicha boshlang’ich ildiz bo’lsa
₍₂₉₎
Sonlar qatori shu modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil qiladi (29) qatorning hadlari bilan o’zaro tub bo’lib,ular modul bo’yicha ta sinfning vakillaridan iboratdir.
Demak, bo’lsa, u holda (29) qatorda modul bo’yicha son bilan taqqoslanuvchi yagona element topiladiki, ya’ni
₍₃₀₎
taqqoslama o’rinli bo’ladi.
22-Ta’rif. Agar son tub modul bo’yicha boshlang’ich ildiz bo’lib, bo’lganda (30) taqqoslama o’rinli bo’lsa, son sonning modul bo’yicha asosga nisbatan indeksi deyiladi va u kabi belgilanadi. Agar asos avvaldan berilgan bo'lsa, ning indeksi orqali belgilanadi.
Bu tarifdan foydalanib (30) ni quyidagicha yozish mumkin;
₍₃₁₎
Yuqoridagilarga asosan, har bir shartni qanoatlantiruvchi son berilgan asos bo’yicha
₍₃₂₎
Sonlarning bittasi bilan aniqlanuvchi indeksga ega ekan. Asosning o’zgarishi bilan indeks ham o’zgaradi. Masalan 7 modul bo’yicha 1,2,3,4,5,6 sonlari va ular bilan, shu 7 modul bo’yicha taqqoslanuvchi barcha sonlar 3 asosga ko’ra

Bo’lgani uchun mos ravishda 0,2,1,4,5,3 kabi indekslarga ega . Endi asos bo’lsin. U holda asos bo’yicha tuzilgan indekslar mos ravishda 0,4,5,2,1,3 sonlariga teng.
₍₃₃₎
Taqqoslama o’rinli bo’ladi. Bu taqqoslamaning ikkala qismini katta noldan darajaga ko’tarib
₍₃₄₎
ga ega bo’lamiz. Endi (30) va (34) taqqoslamalarni hadlab ko’paytirib,
₍₃₅₎
Taqqoslamaga ega bo’lamiz. (35) taqqoslama esa har bir shartni qanoatlantiruvchi soni boshlang’ich ildiz bo’yicha cheksiz ko’p indeksga ega ekanini ko’rsatadi. Bu indekslarning barchasi
₍₃₆₎
Taqqoslamani qanoatlantiradi. ning o’rinli bo’lishi uchun
₍₃₇₎
Taqqoslamani bajarilishi zarur va yetarli. Demak, p modul bo’yicha tuzilgan va p bilan o’zaro tub bo’lgan har bir sinfga (37) taqqoslama bilan aniqlanuvchi indekslar to’plami mos keladi va aksincha. Bu tushunchalarga ko’ra bo’lsa u holda
inda=indb(modp-1) (38)
_{Indekslar quyidagi xossalarga ega:
1-xossa. Ko’paytmaning indeksi modul bo’yicha ko’paytuvchilar indekslarining yig’indisi bilan taqqoslanadi, ya’ni}
(39)
Isboti. Indeksning tarifiga asosan quyidagi taqqoslamani yozib olamiz:

Bularni hadlab ko’paytiramiz.U holda
(40)
Taqqoalama hosil bo’ladi. Bundan (23) va (40) ga asosan
(41)
2-xossa. Natural ko’rsatgichlidarajaning indeksi modul bo’yicha asos indeksi va daraja ko’rsatgichining ko’paytmasi bilan taqqoslanadi,ya’ni