Tushunchasiga keltiriladigan

Ikki o‘lchovli integral. Agar chiziqning boshlang‘ich va oxirgi nuqtasi ustma-ust tushsa,biz uni yopiq chiziq deb ataymiz. Yopiq chiziq bilan chegaralanagan to‘plamga chegaralovchi chiziq ham tegishli bo‘lsa, bunday to‘plamlar yopiq to‘plam deb ataladi.
𝑂𝑥𝑦 tekislikning 𝐷 sohasida uzluksiz 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) funksiya aniqlangan bo‘lsin. 𝐷 sohani biror usul bilan 𝑛 ta 𝐷_𝑖, 𝑖 = ^̅1^̅̅,^̅𝑛^̅ qismiy sohalarga ajratamiz va ularning yuzlarini mos ravishda ∆𝑆_𝑖, diametrlarini esa 𝑑_𝑖 va bu diametrlarning eng kattasini 𝑑 orqali belgilaymiz (3-rasm).
Har bir 𝐷_𝑖 sohada yxtiyoriy ravishda (𝜉_𝑖; 𝜂_𝑖) nuqtani tanlaymiz va
𝑛
𝑓⁽𝜉₁, 𝜂₁⁾∆𝑆₁ + 𝑓⁽𝜉₁, 𝜂₁⁾∆𝑆₁ + ⋯ + 𝑓⁽𝜉_𝑛, 𝜂_𝑛⁾∆𝑆_𝑛 = ∑ 𝑓⁽𝜉_𝑖, 𝜂_𝑖⁾∆𝑆_𝑖 (3)
𝑖=1
yig‘indini tuzamiz. Bu yig‘indi (𝑥, 𝑦) funksiyaning 𝐷 soha bo‘yicha integral
yig‘indisi deb ataladi.
1-Ta’rif. Agar (3) integral yig‘indi 𝑑 = 0 nuqtada chekli 𝐼 limitga ega bo‘lib, u 𝐷 sohani bo‘lish usuliga va undagi nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmasa, bu limitni biz (𝑥, 𝑦) funksiyaning 𝐷 soha bo‘yicha olingan ikki o‘lchovli integrali deb ataymiz va uni
𝐼 = ∬ 𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾𝑑𝑆 = ∬ 𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷 𝐷
orqali belgilaymiz.

Shunday qilib, ikki o‘lchovli integral
∬ ⁽𝑥, 𝑦⁾𝑥𝑑𝑦 = lim

𝑛
∑ ⁽𝜉_𝑖, 𝜂_𝑖⁾∆𝑆_𝑖 (4)

𝑛→∞
𝐷 _𝑑→0 𝑖=1
tenglik bilan aniqlanar ekan. Bunday holda (𝑥, 𝑦) funksiya 𝐷 sohada
integrallanuvchi va 𝐷 −integrallash sohasi deb ataladi.


_𝑑 1

𝑐
𝑂 _𝑥
5-rasm


^𝑂 ₁ 𝑥
6-rasm

(2) va (4) tengliklarni taqqoslab, yuqorida qaralgan silindrik jism hajmi
𝑉 = ∬ 𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾𝑑𝑥𝑑𝑦 (5)
𝐷
formula bilan hisoblanadi deb xulosa chiqarish mumkin.