Tushunchasiga keltiriladigan

5-Misol. Ω = ^{(𝑥, 𝑦, 𝑧⁾ ∈ 𝑹³: 𝑥 ∈ ^[𝑎, 𝑏^], 𝑦 ∈ ^[𝑐, 𝑑^], 𝑧 ∈ [0, ℎ]^} soha bo‘yicha integrallash chegaralarini qo‘yamiz.

• 
  Mazkur holda Ω −qirralari koordinata o‘qlariga parallel bo‘lgan to‘g‘ri burchakli parallelepipeddan iborat (7-rasm). Bu parallelepiped barcha koordinata o‘qlari yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri yopiq soha. Vertikal to‘g‘ri chiziqlar uning quyi va yuqori yoqlarini 𝑧₁ = 0 va 𝑧₂ = ℎ qiymatlarda kesib o‘tadi. Shuning uchun (16) formulaga ko‘ra
  

ℎ
∭ 𝑓⁽𝑥, 𝑦, 𝑧⁾𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬𝑑𝑥𝑑𝑦∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧
^Ω 𝐷 ⁰
tenglik o‘rinli bo‘ladi, bu yerda 𝐷 = ^{(𝑥, 𝑦⁾ ∈ 𝑹²: 𝑥 ∈ ^[𝑎, 𝑏^], 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑]^}
integrallash sohasi 𝑂𝑥𝑦 tekislikdagi to‘g‘ri to‘rtburchak. 1-Teoremani qo‘llab
𝑏 𝑑 ℎ
∭ 𝑓⁽𝑥, 𝑦, 𝑧⁾𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑥∫ 𝑑𝑦∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧

Ω
tenglikni hosil qilamiz.◄
𝑎 𝑐 0

6-Misol. Ω = ^{(𝑥, 𝑦, 𝑧⁾ ∈ 𝑹³: 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1^} tetraedr bo‘yicha integrallash chegaralarini qo‘yamiz (7-rasm).

• 
  Ω integrallash sohasi barcha koordinata o‘qlari yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri soha.
  

𝑂𝑥𝑦 tekislikning (𝑥, 𝑦) nuqtasidan o‘tuvchi to‘g‘i chiziq Ω yopiq sohani quyidan (𝑥, 𝑦, 0) nuqtada va yuqorida 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 tekislikning (𝑥, 𝑦, 1 − 𝑥 − 𝑦) nuqtasida kesib o‘tadi. Ω sohaning 𝑂𝑥𝑦 tekislikka proyeksiyasi
𝐷 = ^{(𝑥, 𝑦⁾ ∈ 𝑹²: 𝑥 ∈ ^[0,1^], 𝑥 + 𝑦 ≤ 1^}
uchburchak bo‘ladi. Bu 𝐷 sohada 𝑂𝑦 o‘qqa parallel to‘g‘ri chiziqlar uning chegarasini 𝑦 = 0 va 𝑦 = 1 − 𝑥 to‘g‘ri chiziqlarda kesib o‘tadi. Shuning uchun (16) formulani va 4-Teoremani qo‘llasak, uch o‘lchovli integralni

1 1−𝑥
1−𝑥−𝑦

∭ 𝑓⁽𝑥, 𝑦, 𝑧⁾𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑥 ∫
𝑑𝑦 ∫
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧

Ω 0 0 0
ko‘rinishda tasvirlash mumkin.◄

𝑥
8-rasm


9-rasm