Tushunchasiga keltiriladigan

Ikki o‘lchovli integralni hisoblash. 2-Ta’rif. 𝐷 integrallash sohasini
𝐷 = ^{(𝑥, 𝑦⁾ ∈ 𝑹²: 𝑥 ∈ ^[𝑎, 𝑏^], 𝑦₁(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦₂(𝑥)^} (6) ko‘rinishda ifodalsh mumkin bo‘lsa, uni 𝑂𝑦 o‘q yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri soha deb
ataladi, bu yerda 𝑦₁(𝑥) va 𝑦₂(𝑥) funksiyalar [𝑎, 𝑏] kesmada uzluksiz va 𝑦₁(𝑥) ≤
𝑦₂(𝑥) tengsizlikni qanoatlantiradi (4-rasm).
Bunday sohalarning ichki nuqtasi (ya’ni chegara nuqtasi bo‘lmagan) orqali
𝑂𝑦 o‘qqa parallel qilib o‘tkazilgan har qanday to‘g‘ri chiziq sohaning chegarasini faqat ikki nuqtada kesib o‘tadi. 4-rasmda 𝑀₁ va 𝑀₂ nuqtalar. 𝑂𝑥 o‘q yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri soha ham xuddi shu singari aniqlanadi (5-rasm).
Bir vaqtning o‘zida ham 𝑂𝑥 va ham 𝑂𝑦 o‘qlar yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri sohani oddiy qilib to‘g‘ri soha deb ataymiz. 4-rasmda to‘g‘ri soha tasvirlangan.
1-Teorema. Agar (𝑥, 𝑦) funksiyaning (6) ko‘rinishdagi 𝐷 soha bo‘yicha ikki o‘lchovli integrali mavjud va har bir fiksirlangan 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] qiymatda ⁽𝑥⁾ =
𝑦₂(𝑥)

∫
𝑦₁(𝑥)
𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾𝑑𝑦 aniq integral mavjud bo‘lsin. U holda

𝑏 𝑏
𝑦₂(𝑥)

∫ 𝜑⁽𝑥⁾𝑑𝑥 = ∫ [ ∫ 𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾𝑑𝑦] 𝑑𝑥

𝑎 𝑎
𝑦₁(𝑥)

integral ham mavjud va uning qiymati 𝐼 ga teng bo‘ladi:
_𝑏 𝑦₂(𝑥)
∬ 𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾𝑑𝑦. (7)

𝐷 𝑎
𝑦₁(𝑥)

(7) formula 𝑂𝑦 o’q yo’nalishi bo’yicha to’g’ri sohadan olingan ikki o’lchovli integralni hisoblash formulasi deb ataladi. Xuddi shu singari 5-rasmda tasvirlangan
𝑂𝑥 o’q yo’nalishi bo’yicha to’g’ri sohadan olingan ikki o’lchovli integralni hisoblash
_𝑑 𝑥₂(𝑦)
∬ 𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾𝑑𝑦. (8)

𝐷
formula bilan amalga oshiriladi.
𝑐 𝑥₁(𝑦)