Tushunchasiga keltiriladigan

5-Ta’rif. Agar (11) integral yig‘indi 𝑑 = 0 nuqtada chekli 𝐼 limitga ega bo‘lib, u Ω sohani ΔΩ₁, ΔΩ₂, …, ΔΩ_𝑛 qismlarga bo‘lish usuliga va ulardagi 𝑃_𝑖 nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmasa, bu limitni biz 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiyaning Ω soha bo‘yicha olingan uch o‘lchovli integrali deb ataymiz va uni
𝐼 = ∭ 𝑓⁽𝑥, 𝑦, 𝑧⁾𝑑𝑉 = ∭ 𝑓⁽𝑥, 𝑦, 𝑧⁾𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Ω Ω
orqali belgilaymiz.
Shunday qilib, uch o‘lchovli integral
𝑛
∭ ⁽𝑥, 𝑦, 𝑧⁾𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = lim ∑ 𝑓(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖 , 𝑧_𝑖)∆𝑉_𝑖 (12)
Ω ^𝑑→0𝑖=1

tenglik bilan aniqlanar ekan. Bunday holda (𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiya Ω sohada
integrallanuvchi va Ω −integrallash sohasi deb ataladi.
(11) va (12) tengliklarni taqqoslab, nuqtalaridagi zichligi 𝜇(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiya bilan aniqlanuvchi Ω jismning 𝑚 massasi uchun
𝑚 = ∭ 𝑓⁽𝑥, 𝑦, 𝑧⁾𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (13)
Ω
formulani hosil qilamiz.
Har qanday (𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiya uchun ham uch o‘lchovli integral mavjudmi degan savolga quyidagi teorema javob beradi.

3. 
   Teorema. Yopiq chegaralanagan Ω sohada uzluksiz (𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiya, bu sohada integrallanuvchi hamdir.
   

Uch o‘lchovli integralni hisoblash. Ikki o‘lchovli integrallardagi singari uch o‘lchovli integralni hisoblash takroriy integralni hisoblashga keltiriladi.
Fazodagi Ω soha quyidan 𝑆₁: 𝑧 = (𝑥, 𝑦) sirt bilan, yuqoridan 𝑆₂: 𝑧 = (𝑥, 𝑦) sirt bilan, _𝑥
𝑂𝑧 o‘qqa parallel yon silindrik 𝑆₃ sirt bilan
chegaralangan bo‘lsin, bu yerda (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷
nuqtalarda 𝜑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜓(𝑥, 𝑦) tengsizlik o‘rinli va
𝐷 −soha berilgan fazoviy Ω sohaning 𝑂𝑥𝑦 tekislikdagi proyeksiyasi (10-rasm). Agar Ω sohaning ixtiyoriy ichki nuqtasidan 𝑂𝑧 o‘qqa
𝑧 = 𝜓(𝑥, 𝑦)
𝑧
(𝑆₂)


_Ω (𝑆₃)


^(𝑆1)𝑧 = 𝜑(𝑥, 𝑦)
^𝑂 𝑦
𝐷
7-rasm

parallel bo‘lib o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq, bu sohaning chegarasini faqat ikki nuqtada kesib o‘tsa, bunday soha 𝑧 −silindrik soha yoki 𝑂𝑧 o‘qi yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri soha deb ataladi.

Ikki o‘lchovli integrallar uchun keltirilgan 2-Teoremaga o‘xshash quyidagi teorema o‘rinli.