U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

3.3. Takrorli guruhlashlar. 
 ta elementdan tadan olib tuzilgan 
elementlari istalgancha takrorlanishi mumkin bo„lgan kombinatsiyalarni 
qaraylik. Bu kombinatsiyalar bir-biridan faqat elementlarining tarkibi 
bilan farqlanib, tartibi rol o„ynamasin. 
Masalan, 
{ } to„plamning elementidan
ta, 
elementidan 
ta olib tuzilgan uzunligi 
songa teng 
kombinatsiyalar tuzamiz:
bu yerda
bu yerda
bu yerda
bu yerda
Bu kombinatsiyalar bir-biridan hech bo„lmaganda bitta elementi 
bilan farqlanadi. Bunday usul bilan tuzilgan kombinatsiyalar 
ta 
elementdan 
tadan olib tuzilgan takrorli guruhlashlar deb ataladi.
Teorema. 
ta elementdan tadan olib tuzilgan takrorli guruh-
lashlar soni

---

62 
̅
formula orqali hisoblanadi.
Isboti: 
 ta elementli { 
} to„plamdan tadan olib 
tuzilgan takrorli guruhlashlar sonini topish uchun har bir kombinatsiya-
lar tarkibidagi 
̅̅̅̅ elementlarni nol va bir raqamlaridan iborat 
kodlar yordamida shifrlaymiz. Agar 
element kombinatsiyada necha 
marta qatnashsa, shuncha birlar yozamiz, agar qatnashmasa, hech narsa 
yozmaymiz. 
Berilgan 
{ 
} to„plam tarkibidagi 
vergullarni nol raqami bilan almashtiramiz.
Masalan, 
{ } to„plam elementlaridan tuzilgan 4 ta 
elementdan 5 tadan takrorli 
guruhlashlarga 01100111 shifr 
mos keladi. Bu yerda
{ } to„plamdagi elementdan keyingi 
vergul 0 raqamiga,
kombinatsiyada element ikki marta 
qatnashgani uchun ikkita 11 raqamiga, 
{ } to„plamdagi va 
elementdan keyingi vergullar 00 raqamiga,
kombinatsiyada d  element uch marta qatnashgani uchun uchta 111 
raqamiga akslantirilgan. 01100111 shifr tarkibida beshta 1 raqami va 
uchta 0 raqami qatnashmoqda. Agar bu yerda ixtiyoriy bitta 1 va 0 
raqami o„rni almashtirilsa, bu shifrga mos yangi kombinatsiya hosil 
bo„ladi.
Masalan, 01100111 shifrning birinchi ikki raqami o„rni almash-
tirilsa, hosil bo„lgan 10100111 shifrga mos kombinatsiya
ko„rinishida bo„lib qolgan kombinatsiyalardan hech bo„lmaganda bitta 
elementi bilan farq qiladi. 01100111, 10100111 va hokazo shifrlar 
tarkibida 
ta va ta nol raqami qatnashyapti. 
Demak,
ta elementli { 
} to„plamdan tadan olib 
tuzilgan takrorli guruhlashlar sonini 0 va 1 raqamlardan iborat 
shifrlarning o„rin almashtirishlar soniga teng. Bu shifr tarkibida 
ta 0 raqami, 
ta 1 raqami mavjud. Shuning uchun 
̅
formula kelib chiqadi.