U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

2.5. Bog‘liqmas sinovlar ketma-ketligi. Bernulli sxemasi. Bino-
mial taqsimot. Ushbu misolga e‟tibor beramiz: tajriba o„yin soqqasini 
tashlashdan iborat bo„lsin. Har bir sinovda u yoki bu sondagi ochkolar 
chiqish ehtimolligi boshqa sinovlarda qanday ochkolar chiqqanligiga 
bog„liqmasligi ravshan. Bu yerda bog„liqmas sinovlar ketma-ketligi ho-
sil bo„lmoqda.

---

93 
Ta’rif. Takrorlanadigan sinovlarda har birining u yoki bu nati-
jasining ehtimolligi boshqa sinovda qanday natija bo„lganligiga bog„liq 
bo„lmasa, ular bog„liqmas sinovlar ketma-ketligini hosil qiladi, deyiladi.
Agar sinov natijalarining har qanday kombinatsiyasi bog„liqmas 
hodisalar to„plamidan iborat bo„lsa, bu sinovlar bog„liqmas sinovlar 
deyiladi. Har bir sinov natijasida biror 
hodisaning ro„y berishi yoki 
ro„y bermasligi kuzatilib, o„zaro bog„liqmas sinovlar ketma-ketligini 
hosil qilsa, bu sinovlar ketma-ketligiga Bernulli sxemasi deyiladi. 
hodisaning ro„y berish ehtimolligi 
sinovlar tartibiga bog„liq 
bo„lmaydi. 
ta bog„liqmas sinovlarda hodisa yo har xil ehtimollikka, 
yoki bir xil ehtimollikka ega bo„lishi mumkin. Biz 
hodisa bir xil 
ehtimollikka ega bo„lgan sinashlarni tekshiramiz. Endi quyidagicha 
qo„yilgan masalani qaraylik: bir xil sharoitda o„tkazilgan 
ta 
bog„liqmas sinovlarning har birida 
hodisa ehtimollik bilan 
ro„y bersa va bu hodisaning 
ta sinovda rosa marta ro„y berish 
ehtimolligini topish talab etilsin. Izlanayotgan ehtimollikni 
deb 
belgilaylik.
Masalan, 
-bog„liqmas 4 ta sinovda hodisa rosa 3 marta ro„y 
berish ehtimolligini topamiz:
( ) ( ) ( ) ( )
ekanligini kuzatish mumkin. 
Yuqoridagi misoldan xulosa qilib, umumiy holda tajriba bir xil 
sharoitda 
marta takrorlanib, biror hodisaning har bir sinovda ro„y 
berish ehtimolligi 
ga teng bo„lsa, hodisaning rosa marta 
ro„y berish ehtimolligi binomial taqsimot yordamida topiladi: 
bu yerda:
ehtimollar ehtimollik taqsimoti bo„lishligi quyidagi ifodadan 
kelib chiqadi: 
∑ ⍵ ∑
[ ]
(1) formula bilan aniqlangan 
ehtimollar binomial taqsimot 
deyiladi va uni quyidagicha tushunish mumkin: 
ta bog„liqmas sinovlar 
ketma-ketligida 
hodisa sinovlar raqamiga bog„liq bo„lmasdan 
ehtimollik bilan ro„y bersa,
bu hodisaning ta sinovda 
rosa 
marta ro„y berish ehtimolligiga teng.
binomial taqsimotni

---

94 
songa nisbatan qanday o„zgarishini qaraylik. Buning uchun quyidagi 
nisbatni ko„ramiz:
(
)
Bu nisbat 
soni o„sgan sari kamayadi va 
bo„lsa, u birdan katta, 
bo„lsa, birdan kichik bo„ladi. Demak,
ehtimollik oldin
o„sganida monoton o„sadi, keyin 
bo„lganida esa kamayadi va 
ehtimollik
[ ] bo„lganda, eng katta qiymatga 
erishadi. Demak, 
ta bog„liqmas sinovlar ketma-ketligida hodisaning 
marta ro„y berishi ehtimolligi qolgan sinovlarning mumkin bo„lgan 
natijalari ehtimolligidan katta bo„lsa, 
eng ehtimolli son deyiladi. Bu 
ehtimollikni quyidagicha ham hisoblash mumkin: 
a) agar 
kasr son bo„lsa, bitta eng ehtimolli
son mavjud; 
b) agar 
butun son bo„lsa, ikkita eng ehtimolli son
va 
mavjud; 
d) agar 
butun son bo„lsa, eng ehtimolli son
bo„ladi.
Bernulli sxemasida 
hodisaning ro„y berishlari soni sondan 
katta bo„lmaslik ehtimolligi: 
∑
Agar 
va soni katta son bo„lsa, bu formuladan foydalanish 
ancha murakkabliklarni keltirib chiqaradi. Bunday hollarda quyidagi 
taqribiy formuladan foydalanish maqsadga muvofiq: 
hodisaning kamida
va ko„pi bilan 
martagacha ro„y berish 
ehtimolligi:
∑
ta sinovda hodisaning kamida bir marta ro„y berishi ehtimolligi: 
1-misol. Ishchi ishlov berayotgan detallar orasida o„rtacha 4%i 
nostandart bo„ladi. Sinash uchun olingan 30 ta detaldan ikkitasi 
nostandart bo„lish ehtimolligini toping. Qaralayotgan 30 ta detaldan 

---

95 
iborat tanlanmada nostandart detallarning eng ehtimolli soni qancha va 
uning ehtimolligi qancha?