Уч каррали интеграллар

5⁰. Уч каррали интегралларни ҳисоблаш. Уч каррали интег­рал­ларни ҳисоблаш формулалари интеграллаш тўплам-ининг кўри­нишига қараб турлича бўлади.
а) Айтайлик, функция фазодаги

тўпламда (параллелепипедда) узлуксиз бўлсин. У ҳолда
(2)
бўлади.
б) Айтайлик, фазодаги тўплам – пастдан , юқоридан сирт, (бунда тўплам жисмнинг текислигидаги проекцияси) билан чегараланган тўплам бўлсин. Агар бу да узлуксиз, ва функциялар да узлуксиз бўлса, у ҳолда
(3)
бўлади.
в) Айтайлик, б) ҳолдаги тўплам қуйидагича

бўлиб, ва функциялар да узлуксиз бўлсин. У ҳолда

бўлади.
1-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин, бунда
.
◄ Юқоридаги (2) формуладан фойдаланиб берилган интег­рал­ни ҳи­соб­лаймиз:

. ►
2-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин, бунда –қуйидаги конус ва текисликлар билан чегараланган тўплам.
◄ нинг текисликдаги проекцияси

бўлади. (3) формуладан фойдаланиб топамиз:
.
Кейинги интегралда

алмаштириш бажариб, уни ҳисоблаймиз:
. ►
6⁰. Уч каррали интегралларда ўзгарувчиларни алмашти­риш. Айтайлик, функция тўпламда берилган ва узлук­сиз бўлсин. Ушбу

система тўпламни тўпламга акслантириш бўлиб, бу акслан­тириш 85-маърузада келтирилган 1)– 3) – шартларни бажар­син. У ҳолда

бўлади, бунда

бўлади.
Кўп ҳолларда декарт координаталаридан цилиндрик ҳамда сферик координаталарга ўтиш билан уч каррали интеграллар ҳисоб­ланади.
а) Декарт координаталари дан цилиндрик коор­ди­на­та­лар га ўтиш
,
,
,
формулалар ёрдамида амалга оширилади (45-чизма).



45-чизма

Бу алмаштиришнинг якобиани бўлиб,

бўлади.

46-чизма
б) Декарт координаталари дан сферик коор­ди­на­та­лар га ўтиш
,
,

формулалар ёрдамида амалга оширилади. (46-чизма)
Алмаштириш якобиани бўлиб,

бўлади.
3-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин. Бунда қуйидаги

конуснинг юқори қисми ва текислик билан чегараланган тўплам.
◄ Берилган интегралда ўзгарувчини қуйидагича
,
,

алмаштириб топамиз:
,
.
Натижада

бўлади. Кейинги интегрални ҳисоблаймиз:

.
Демак,
. ►
4-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансинки, бунда – қуйидаги

шардан иборат.
◄ Бу интервалда
,
,

алмаштириш бажарамиз. У ҳолда
,
бўлиб,

бўлади. Натижада берилган интеграл

кўринишга келади. Кейинги интегрални ҳисоблаймиз:
.
Демак, . ►
7⁰. Уч каррали интегралларнинг баъзи тадбиқлари. Уч кар­рали интеграл ёрдамида фазодаги жисмларнинг хажмини, мас­сали жисмнинг массасини, оғирлик марказини, инерция момент­ларини топиш мумкин.