Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк
Уравнения Лагранжа в независимых координатах
Download 1.62 Mb. Pdf ko'rish
|
Аюпов В.В. Математическое моделирование технических систем
|
7.6. Уравнения Лагранжа в независимых координатах Механическая система может состоять из произвольно большого числа частиц или тел и вместе с тем обладать не- большим числом степеней свободы. Например, кривошипно- шатунный механизм (кривошип- шатун- шток- поршень в ци- линдре) обладает лишь одной степенью свободы; уравнение движения механизма можно определить законом вращения одного только кривошипа: угол поворота криво- шипа (обобщенная координата). Выведем дифференциальные уравнения движения голо- номной механической системы в независимых координатах. 164 Вывод уравнений движения голономной механической си- стемы в независимых координатах – уравнений Лагранжа второго рода состоит в преобразовании общего уравнения динамики, выражающего принцип Даламбера – Лагранжа к независимым координатам. Разбиваем исходное уравнение на два слагаемых. Первое слагаемое – работа активных сил на виртуальном перемещении – заменяется суммой ∑ i i . Второе слагаемое преобразуется с учетом зависимостей ⃗ k ⃗ k 1 n , которые можно рассматривать как уравнения связей в параметрической форме, поскольку 1 2 n неза- висимы. В результате преобразований получим уравнение, которое распадается на систему n отдельных уравнений, по- скольку 1 2 n произвольны. Таким образом, если 1 2 n ̇ 1 ̇ 2 ̇ n кинетическая энергия системы, а 1 1 2 2 n n работа приложенных к системе активных сил на произвольном виртуальном перемещении 1 , 2 ,…, n , где , 1 ,…, n – известные функции от ̇ 1 ̇ 2 ̇ n , 1 2 n , (в силу того, что система задана), то уравнения движения системы имеют вид ̇ i , (7.19) Интегрированием уравнений Лагранжа определяем функции i это позволяет найти радиус- векторы точек системы ⃗ k ⃗ k а затем и ⃗ k ⃗̇ k , ⃗⃗⃗ k ⃗̈ k и ⃗ k ⃗ k ⃗ k ⃗ k После этого можно определить и реакции связей. |
