Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

F = ma, 
(8.8) 
где а есть вектор ускорения¸ m – масса материальной точки и 
F – вектор силы. Сила F в ряде случаев представляется в виде 
векторной суммы нескольких сил 
F=F
1
+F
2
+…, 
(8.9) 
характеризующих различные эффекты. Возможность замены 
одновременно действующих нескольких сил одной силой, 
определенной по формуле (8.9), является опытным фактом. 
Рассмотрим теперь подробнее величины, входящие в 
уравнение (8.8). Ускорение a представляет собой кинемати-
ческую величину, которую всегда можно получить опытно 
независимо от уравнения (8.8). Масса m определяет свойство 
инерции тела. Для материальной точки понятие массы можно 
ввести на основе третьего закона Ньютона (всякое действие 
представляет собой взаимодействие с равными, но противо-
положно направленными силами). В самом деле, каждой ма-
териальной точке можно приписать значение постоянной ве-
личины – ее массы, так что при движении любых двух изоли-
рованных взаимодействующих материальных точек М
1
и М
2 
или М
1
и М
3
будут иметь место соотношения 
m
1
a
1
+m
2
a
2 
= 0, m
1
aꞌ
1
+m
3
aꞌ
3 
= 0.
(8.10) 
Следовательно, отношение масс всегда можно опреде-
лить из опыта независимо от уравнения (8.8) путем измере-

---

184 
ния отношения ускорений при движении взаимодействую-
щих тел. 
Постоянство массы, определяемой соотношениями 
(8.10) при всевозможных движениях, является опытным фак-
том, выражающим собой закон природы, который, вообще 
говоря, может допускать уточнения. 
Если движение известно, то соотношение (8.8) может 
служить просто равенством, определяющим величину сум-
марной силы. На практике уравнение (8.8) очень часто слу-
жит для вычисления силы. В задачах об определении движе-
ния соотношение (8.8) можно использовать только в том слу-
чае, когда известна зависимость силы от величин, характери-
зующих движение (времени, координат положения точки, 
скорости и т.п.). Эта зависимость может быть получена либо 
теоретически на основании дополнительных гипотез, кото-
рые обязательно должны быть проверены на опыте, либо 
непосредственно опытным путем. 
Как при теоретических рассуждениях, так и в опытах 
определение зависимости силы от различных физических ве-
личин получается с помощью уравнения (8.8). Из наблюде-
ния и изучения простейших движений устанавливается зави-
симость произведения от других параметров движения. Затем 
полученные зависимости обобщаются на более сложный 
класс движений; справедливость обобщений опять должна 
проверяться на опыте путем сравнения выводов, полученных 
из уравнений движения, с результатами опыта. Таким обра-
зом, общий путь получения закона всемирного тяготения из 
закона Кеплера характерен для определения силы в зависи-
мости от параметров движения. 
Аналогичным образом определяется сила взаимодей-
ствия электрических зарядов – закон Кулона, сила магнитно-

---

185 
го напряжения – закон Био–Савара, сила капиллярности – за-
кон Вебера, сила трения между твердыми телами – закон 
трения Кулона, связь между напряжениями и деформациями 
в упругом теле – закон Гука, сила вязкого трения внутри 
жидкости – закон Ньютона и т.п. 
Опытные законы природы, подобные закону всемирного 
тяготения, закону Гука и т.п., получены из рассмотрения ши-
роких классов движения, в которых величина силы определя-
лась как произведение массы на ускорение. Следовательно, в 
конкретных задачах, связанных с определением движения, 
мы не можем ввести в рассмотрение силы независимо от 
уравнения F=ma, использованного применительно к соответ-
ствующим опытам. Исследование механических явлений 
можно проводить аналогичным путем, если взять вместо си-
лы за основную величину другое понятие, например, кинети-
ческую энергию системы. Равенство 
E = ∑
(8.11) 
можно рассматривать как определение кинетической 
энергии механической системы. Исследуя экспериментально 
некоторые классы движений данной механической системы, 
мы можем подметить зависимость величины энергии E от 
ряда других механических характеристик. Например, при 
движении консервативной системы устанавливается, что ки-
нетическая энергия может быть представлена как некоторая 
функция координат точек системы и аддитивной постоянной 
h, значение которой выделяет известный подкласс среди всех 
возможных движений системы, 
E = -V+h. (8.12) 
Величина V носит название потенциальной энергии си-
стемы. Равенство (8.6) и закон (8.7), характеризующий кон-
сервативную систему, приводят к уравнению, 

---

186 
∑
(8.13) 
которое выражает собой закон сохранения механической 
энергии. 
В настоящее время в исследованиях ряда механических 
явлений мы еще не можем определять движения с помощью 
соотношения (8.8) или (8.12), так как наукой еще не решены 
окончательно простейшие задачи в зависимости силы и кине-
тической энергии от обстоятельств механического состояния 
системы. 
В аналитической механике всегда подразумевается, что 
законы для сил или выражение потенциальной энергии из-
вестны. Основные задачи аналитической механики связаны с 
вопросами математического аппарата исследования: с мето-
дами интегрирования уравнений движения и установлением 
различных эквивалентных или более широких принципов, 
которые могут заменять исходные опытные законы.
Главнейшая задача механического или вообще физиче-
ского исследования многих явлений заключается в установ-
лении законов для сил в зависимости от основных характери-
стик состояния движения и в связи с этим в выявлении опре-
деляющих характеристик и самой возможности установления 
подобных законов для практических целей. 
Основная заслуга Ньютона состоит в том, что он указал 
на произведение массы на ускорение как на величину, кото-
рая может иметь одинаковое значение разных тел и различ-
ных движений, происходящих в разных местах пространства 
с различными скоростями, и главное как на величину, кото-
рую можно в ряде случае определять в опытах в функции от 
времени, положения и скорости точек системы. 
Однако определение силы в функции простейших ха-
рактеристик движения, как мы видели, принципиально не 
всегда возможно. В этих случаях возникает вопрос, не удоб-

---

187 
нее ли вместо произведения массы на ускорение взять другие 
характеристики движения и исследовать их связь?
Рассмотрим еще кратко вопрос о силах инерции. Возь-
мем совокупность различных систем координат, движущихся 
друг относительно друга. Ускорение имеет относительную 
величину и направление в двух системах координат, совер-
шающих разные движения. Связь между ускорениями точки 
по отношению к системам координат, движущимся друг от-
носительно друга, устанавливается в кинематике. 
Мы можем зависимость силы от основных характери-
стик движения устанавливать опытно в некоторой опреде-
ленной системе координат, обычно в системе координат, свя-
занной с Землей или с центром тяжести солнечной системы. 
Если нам известны законы для сил в некоторой системе 
координат, то мы легко найдем произведение массы на уско-
рение, т.е. силу в любой системе координат, движение кото-
рой относительно исходной системы задано. Как известно, в 
этом случае мы должны вводить в рассмотрение так называ-
емые силы инерции. Для наблюдателя, связанного неизменно 
с подвижной системой, действующие силы слагаются из сил, 
определенных в системе координат, в которой производился 
опыт (исходная система координат), и из сил инерции, кото-
рые для подвижного наблюдателя с механической точки зре-
ния неотличимы от любых других сил.