Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

f(а
1
, а
2
, . . ., а
n
) =
= f(α
1 
a
1
, . . . , α
k 
a
k
, 
a
k+1
, . . ., 
. . . 
a
n
). (8.15) 
Это равенство показывает, что функция f обладает свой-
ством однородности относительно масштабов а
1
, а
2
, . . ., а
k
. 
Масштабы а
1
, а
2
, . . . , а
k
произвольны. Воспользуемся выбо-
ром этих масштабов для сокращения числа аргументов у 
функции f. Положим: 
, 
, . . . , 
, 
т.е. выберем систему единиц измерения таким образом, 
чтобы значения первых k аргументов в правой части соотно-
шения (8.15) равнялись единице. Иначе говоря, используя то 
обстоятельство, что соотношение (8.14) согласно предполо-
жению не зависит от системы единиц измерения, мы уста-
навливаем систему единиц измерения так, чтобы k аргумен-
тов у функции f имели фиксированные постоянные значения, 
равные единице. 
В этой относительной системе единиц измерения чис-
ленные значения параметров а, а
k+1
, . . . , а
n
определяются 
формулами 

---

190 
П = 
, П
1 
= 
, … , П
n-k 
= 
, 
где a, a
1
, a
2
, . . . , a
n
– численные значения рассматриваемых 
величин в первоначальной системе единиц измерения. Не-
трудно видеть, что значения П, П
1
, …, П
n-k 
вообще не зависят 
от выбора первоначальной системы единиц измерения, так 
как они имеют нулевую размерность относительно единиц 
измерения А
1
, А
2
, …, А
k
. Очевидно также, что значения П,
П
1
, … , П
n-k 
вообще не зависят от выбора систем тех единиц 
измерения, через которые выражаются k единиц измерения 
для величин а
1
, а
2
, . . . , а
k
. Следовательно, эти величины 
можно рассматривать как безразмерные. Пользуясь относи-
тельной системой единиц измерения, соотношение (8.14) 
можно представить в виде 
П = f (1,1, . . . , П
1
, . . . , П
n-k
). (8.16) 
Таким образом связь между n+1размерными величина-
ми a, a
1
, . . ., a
n
, независимая от выбора системы единиц из-
мерения, принимает вид соотношения между n+1- k величи-
нами П, П
1
, . . . , П
n-k
, представляющими собой безразмерные 
комбинации из n+1размерных величин. Этот общий вывод 
теории размерностей известен под названием П – теоремы.
Если известно, что рассматриваемая безразмерная вели-
чина является функцией ряда размерных величин, то эта 
функция может зависеть только от безразмерных комбина-
ций, составленных из определяющих размерных величин.
Очевидно, что в соотношении (8.16) систему безразмер-
ных параметров П
1
, П
2
, . . . , П
n-k
, можно, изменяя вид функ-
ции f, заменять другой системой безразмерных параметров, 
являющихся функциями n-k параметров П
1
, . . . , П
n-k
. Не-
трудно видеть, что из n параметров a
1
, a
2
, . . ., a
n
, среди кото-
рых имеется не более k параметров с независимыми размер-
ностями, нельзя составить больше n-k независимых безраз-

---

191 
мерных степенных комбинаций. Это непосредственно выте-
кает из вывода соотношения (8.16), если за величину a мы 
примем любую выбранную безразмерную комбинацию, 
определяемую величинами a
1
, a
2
, . . ., a
n
.
Всякое физическое соотношение между размерными ве-
личинами можно сформулировать как соотношение между 
безразмерными величинами. В этом, собственно, и заключа-
ется источник полезных приложений метода теории размер-
ности к исследованию механических задач.
Чем меньше число параметров, определяющих изучае-
мую величину, тем больше ограничена функциональная за-
висимость и тем проще вести исследование. В частности, ес-
ли число основных единиц измерения равно числу определя-
ющих параметров, которые имеют независимые размерности, 
то с помощью теории размерности эта зависимость полно-
стью определяется с точностью до постоянного множителя. В 
самом деле, если n = k, т.е. все размерности независимы, то 
из параметров a
1
, a
2
, . . . , a
n
нельзя образовать безразмерной 
комбинации, и поэтому функциональная зависимость (6.3) 
может быть представлена в виде 
a= c
. . .
, 
где с – безразмерная постоянная, а показатели m
1
, m
2
, … 
, m
n
легко определяются с помощью формулы размерности 
для a. Что же касается безразмерной постоянной, то ее можно 
определить любым опытом, либо теоретически, решаю соот-
ветствующую математическую задачу. Очевидно, что теория 
размерности приносит тем большую пользу, чем больше мы 
можем выбирать основных единиц измерения. 
Выше мы видели, что число основных единиц измере-
ния можно выбирать произвольно, однако увеличение числа 
основных единиц связано с введение дополнительных физи-

---

192 
ческих постоянных, которые также должны фигурировать 
среди определяющих параметров. Увеличивая число основ-
ных единиц измерения, мы увеличиваем число размерных по-
стоянных; в общем случае разность n+1– k, равная числу без-
размерных параметров, в которых формулируется физическое 
соотношение, остается постоянной. Увеличение числа основ-
ных единиц измерения может приносить пользу только в том 
случае, когда из дополнительных физических соображений 
ясно, что физические постоянные, возникающие при введении 
новых основных единиц измерения, несущественны.