Universiteti mustaqil ish

Ta’rif 2.5. Agar har bir a_i elementiga mos keltirillgan α_i son karraligi N son boʻlsa, unda guruhlar takrorlanishlar bilan berilgan deyiladi. Elementlar ixchamligi guruhlar tartibining summasini beradi. K-chi tartibli ixtiyoriy M dan olingan guruhlar takrorlanishlar bilan guruhlar takrorlari bilan n dan to k elementgacha deb ataladi. Yuqorida keltirilgan simvollari elementdagi guruhlar hisoblanadi va 8=3+2+1+2.
Teorema 2.3: Berilgan n ta elementdan k tadan tuzilgan guruhlashlar miqdori
(1.10)
formula bilan aniqlanadi.
Isbot: Teorema takrorlanmaydigan kombinatorikalar yordamida isbot qilinadi.
Ixtiyoriy takroriy guruhlashlardan birini olamiz. Guruhlashlar miqdorini aniqlashda elementlarning kelish tartibi ahamiyatga ega emas. Masalan, a₁a₂…a_n, a₁a₁…a₁, a₂a₂…a₂, ….. a_na_n…a_n. Bunda a₁ element α marta, a₂ element β marta va hokazo a_n element γ marta qatnashishi va unga

simvolni mos keltiramiz.
Agar ba takroriy guruhlashda biror element qatnashmasa, ya`ni karraligi nol boʻlsa, u holda unga mos keluvchi birlar yozilmaydi va simvolda ketma-ket hech boʻlmaganda ikkita nol yoziladi.
Berilgan n ta elementdan k tadan tuzilgan takroriy guruhlashlarga mos keluvchi simvollarda 1 raqami k marta, 0 raqami (n-1) marta uchraydi. Bu simvollar xuddi “ikkilik” takroriy oʻrinalmashtirishlardan iborat, ya`ni ikkita 0 va 1 elementdan tuzilgan boʻlib 0 raqam n-1 marta, 1 raqam k marta uchraydi.
Shunday qilib har qanday takroriy guruhlashlar uchun biror ikkilik oʻrinalmashtirish mos keltirish aniqlangan boʻladi.
Xuddi shunday, aksincha har qanday ikkilik oʻrinalmashtirishga (bunda 0 raqam n-1 marta, 1 raqam k marta uchraydi) n ta elementdan k tadan tuzilgan takroriy guruhlash mos kelishi toʻla aniqlangan boʻladi. Bunday guruhlashni tuzish uchun 1 raqam necha marta yozilgan boʻlsa uning oʻrniga unga mos keluvchi elementni qatnashish tartibida shuncha marta yozish kifoya. Maslan
a₁a₁a₁a₂a₂a₃a₄a₄a₄ va a₁a₂a₂a₂a₂a₂a₂a₂a₄
guruhlashlarga
111011010111 va 10111111101
simvollar mos keladi.
Aksincha
011100111111 va 110111010111
simvollarga
a₂a₂a₂a₄a₄a₄a₄a₄a₄ va a₁a₁a₂a₂a₂a₃a₂a₂a₄
guruhlashlar mos keladi.
Bu koʻrsatilgan oʻzaro bir qiymatli moslik izlanayotgan sonning (n ta elementdan k tadan tuzilgan guruhlashlar sonining) ikkilik (ya`ni 0 va 1 dan tuzilgan) takroriy oʻrinalmashtirishlar soniga teng ekanligini koʻrsatadi (bunda 0 raqam n-1 marta, 1 raqam k marta uchraydiG’ Teorema isbot boʻldi, ya`ni (10)

formula isbot boʻldi.
Masala. Bizga n ta bir xil narsa berilgan. Bu narsani p ta shaxslarga necha usul bilan taqsimlab berish mumkin?