1. Вывод уравнений колебаний струны, теплопроводности, Лапласа; физическая интерпретация краевых и начально-краевых задач для них.
2. Классификация уравнений второго порядка.
3. Характеристики уравнений второго порядка. Примеры характеристик для уравнений колебаний струны, теплопроводности.
4. Уравнения с частными производными первого порядка.
5. Приведение уравнения гиперболического типа к каноническому виду в случае двух независимых переменных.
6. Канонический вид линейного уравнения второго порядка.
7. Приведение уравнения с постоянными коэффициентами к каноническому виду в случае n переменных.
8. Задача Коши для уравнения с частными производными. Теорема Ковалевской.
9. Уравнение теплопроводности. Постановка для него задачи Коши и начально-краевых задач, их физический смысл.
10. Теорема о максимуме и минимуме для однородного уравнения теплопроводности.
11. Единственность решения первой начально-краевой задачи и задачи Коши для уравнения теплопроводности.
12. Обобщенные функции: определение, -функция, дифференцирование обобщенных функций. Обобщенное решение дифференциального уравнения.
13. Понятие обобщенного решения начально-краевых задач для уравнения теплопроводности. Интегральные тождества.
14. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.
15. Решение методом Фурье начально-краевых задач для уравнений параболического типа. Обоснование.
16. Постановка краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона. Гармонические функции, примеры. Фундаментальное решение уравнения Лапласа.
17. Гармонические функции. Интегральное представление гармонических функций.
18. Теоремы о среднем для гармонических функций.
19. Теорема о максимуме и минимуме для гармонических функций. Единственность решения внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
20. Необходимое условие разрешимости и единственность (с точностью до аддитивной постоянной) решения внутренней задачи Неймана.
21. Решение методом Фурье краевых задач для уравнения Лапласа в круге и кольце.
22. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре.
23. Объемный (ньютоновский) потенциал, его существование, непрерывность, гармоничность в области без зарядов. Объемный потенциал, как решение уравнения Пуассона (Лапласа).
24. Поверхностные потенциалы простого и двойного слоя, их гармоничность.
25. Сведение внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона к интегральному уравнению.
26. Преобразование Кельвина. Связь внешней и внутренней задач Дирихле для уравнения Лапласа.
27. Волновое уравнение. Постановка для него задачи Коши и начально-краевых задач, их физический смысл.
28. Единственность решения первой и второй начально-краевых задач для волнового уравнения. Интеграл энергии.
29. Формула Кирхгоффа (решение задачи Коши для однородного волнового уравнения в трехмерном пространстве).
30. Формула Пуассона (решение задачи Коши для однородного волнового уравнения на плоскости). Формула Даламбера.
Список вопросов для проверки знания основных определений и усвоения основных понятий курса*.
1. Определение характеристик.
2. Типы основных уравнений.
3. Постановка начально-краевых задач для уравнения теплопроводности.
4. Принцип максимума для уравнения теплопроводности.
5. Задача Коши для уравнения теплопроводности.
6. Краевые задачи для уравнения Лапласа.
7. Необходимое условие разрешимости внутренней задачи Неймана.
8. Свойства гармонических функций, регулярность гармонических функций на бесконечности.
9. Задача Коши для уравнения колебаний бесконечной струны. Формула Даламбера.
10. Начально-краевая задача для волнового уравнения.
|
