Misollar.
1-misol. Koshi maslasini yeching
Ushbu misolni yechish uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
(1)
Bizning holimizda , , -berilgan Shu qiymatlarni (1) ga olib borib qo`yamiz:
(2)
va
integralni hisoblashda ham yuqoridagidek fikr yuritib, hisoblashlarni bajaramiz va quyidagicha natijaga ega bo`lamiz: .
Ikkala integralni topib (2) formulaga olib borib qo`yamiz. Natijada quyidagicha yechimga ega bo`lamiz:
2-misol. Koshi maslasini yeching
Ushbu misolni yechish uchun (1) formuladan foydalanamiz.
Bu yerda , , . Bu qiymatlarni (1) formulaga olib borib qo`yamiz:
va
ISSIQLIK TARQALISH TENGLAMASI UCHUN QO`YILGAN ARALASH MASALA ( FURE USULI )
Birinchi chegaraviy masala
(1)
tenglamaning sohada aniqlangan, uzluksiz va
(2)
chegaraviy shartlarni hamda
(3)
boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,t) yechimi topilsin, bu yerda funksiya uzluksiz, bo`lak-bo`lak uzluksiz hosilaga ega va .
Fure usuliga binoan (1) tenglamaning xususiy yechimlari
(4)
ko`rinishida izlaymiz. (4) ni (1) va (2) ga qo`yib quyidagilarni
(5)
(6)
hosil qilamiz.
Bu masala Shtrum-Liuvill masalasi bo`lib, uning xos qiymatlari
(7)
lardan, xos funksiyalari esa
lardan iboratdir parametrning qiymatlariga (5) tenglamaning
yechimlari mos keladi, bunda -ixtiyoriy o`zgarmaslar.
Shunday qilib,
funksiyalar (1) tenglamani va (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
Boshlang`ich (3) shartni qanoatlantirish uchun ushbu
(8)
qatorni tuzamiz va
tenglikning bajarishini talab qilamiz, bunda
(9)
funksiyaga qo`yilgan shartlarga va tengsizlikka asosan (8) qator absalyut va tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
(8)va (9) dan (1),(2),(3) masalaning yechimini olamiz:
(10)
bu yerda
Do'stlaringiz bilan baham: |
