Урганч давлат университети р. М. Мадрахимов, С. А. Имомкулов, Б. И. Абдуллаев, Ж. Р. Ярметов

Юкорида келтирилган тасдиклардан

акслантириш текисликдаги

сохани (учи z=0 нуктада булган бурчакни секторни) текисликдаги

сохага (учи W=0 нуктада булган бурчакка – секторга) акслантириши келиб чикади.
Даражали функция ёрдамида бажариладиган акалантиришда z=0 нуктада бурчак n марта ошганлиги сабабли z=0 нуктада акслантириш (n>1) конформ булмайди.
Хусусан,

акслантириш ёрдамида текисликдаги
(3)
соха (бурчак-сектор), текисликдаги
(4)
сохага (юкори ярим текисликка) утади.
Демак, функция (3) соханинг (4) сохага конформ акслантиради.
Энди текисликда ушбу
(5)
сохани (учи z=0 нуктада, томонлари argz=0,argz=2/n нурлардан иборат бурчакки-секторни) оламиз.
Равшанки,

функция ёрдамида бу соха С текисликдаги
(6)
сохага аксланади.
Хулоса. -функциямтз бутун текисликда голоморф функция, бир япрокли эмас. Лекин текисликни n та булакка булсак орасидаги бурчак га тенг булган. Функциямиз хар бир булакни конформ сохага акслантиради.
Практикада бу функциядан бурчак сохаларни юкори ярим текисликк акслантиришда фойдаланилади. Агар сохани бучаги га тенг булса бизни функциямиз бундай сохани юкори ярим текисликка акслантиради.
Мисол. Ушбу

даражали функция ёрдамида текисликдаги ………………… ………………………..
тупламнинг текисликдаги аксини топинг. Берилган Е тупламни

деб

Жуоквский функцияси.

Ушбу

(1)
функцияга Жуковский функцияси дейилади.
Функциямиз каср- чизикли функция эмас. Факат 2 та каср-чизикли функция йигиндисидан иборат.
Бу функция ва нукталардан ташкари бутун текисликда голоморф. Унинг хосиласи , агар булса.
Бу ердан курини турибдики, ихтиёрий чекли нуктада Жуковский функцияси конформ булар экан. Бу функциянинг нуктада конформлигини конформликнинг таърифидан фойдаланиб исботлаш мумкин. тенгликдан эса функциянинг нуктада хам конформлигикелиб чикади.
Шундай килиб Жуковский функцияси нукталардан ташкари хамма ерда конформ экан.
Энди бу функцияси 2 та нукаларни битта нуктага утказсин. У холда

булади. эканлигидан тенгликни хосил киламиз.
Шундай килиб, Жуковсикий функциясининг бирорта D сохада бир варакли булиши учун бу соханинг
(2)
тенгликни каноатлантирувчи ва нукталарни сакламаслиги зарур ва етарлидир. (1)-функция куйидаги сохаларда бир япрокли
а)
б)
в)
г)
Энди (1) функциянинг геометрик маъносини текшириш учун куйидагича ёзиб оламиз:


.
У холда

Бундан
(3)
тенгламаларга эга буламиз.
Энди Жуковский функцияси ёрдами билан текисликдаги айлананинг текисликдаги кандай чизикдан иборат эканини текширамиз. ……Бунда икки хол булади: ва . а) булсин. Куйидагича белгилаб олайлик.
ва бунда . У холда (3) нинг куриниши

булиб,
(4)
булади.
Бу текисликда фокуслари нуктада, ярим уклари ва булган эллипсни ифодалайди. Энди эллипсдаги мусбат йуналишни аниклайлик. ……Агар айлана устидаги ихтиёрий z нукта мусбат йуналиш буйича бир марта айланиб чикса, бурчак 0 дан гача узгаради. (3^/) эллипсда булгани учун бурчак 0 дан гача узгаради: . Бунинг учун эллипс устидаги ихтиёрий W нукта соат стрелкаси буйича харакат килишга мажбур.
Агар биз айлананинг r радиусини нолга якинлаштирсак
яъни, эллипс катталиги бориб, айлана шаклига якинлаша боради.
Агар булса, у холда яъни эллипс Ou укидаги
[-1;1] кесмага тортилади.
Шундай килиб (1) функция билан доира Ou укининг [-1;1] кесмадан иборат булади. Шу билан бирга айлананинг юкори к исмига
[-1;1] кесманинг куйи киргоги ва айлананинг пастки кисмига эса ниманинг юкори киргоги мос келади.
б) булсин.