Урганч давлат университети р. М. Мадрахимов, С. А. Имомкулов, Б. И. Абдуллаев, Ж. Р. Ярметов

Вейерштрасс теоремаси.
Агар (6) функционал каторнинг хар-бир хади D сохада голоморф булиб, бу катор D сохада ётувчи ихтиёрий f ёпик тупламда текис якинлашувчи булса, у холда катор йигиндиси
(7)
функция D сохада голоморф булади.
Исбот.
D сохада ихтиёрий нуктани олиб, унинг шундай атрофини караймиз. булсин, шартга кура (6) катор да текис якинлашувчи демак, катор да хам текис якинлашувчи булади. функция D сохада голоморф булгани учун у (6) каторнинг хар бир хади да хам голоморф булади.бинобарин да функция узлуксиз унда катор йигиндиси f(z) функция хам да узлуксиз булади.
Энди да ётувчи ёпик силлик чизикни олайлик (7) каторни чизик буйича хадлаб интеграллаб топамиз.
(8)
Коши теоремасига кура (9) булади. (8 ) ва (9) дан булиши келиб чикади. Морера теоремасидан фойдаланиб f(z) функцияни ва демак, нуктада голоморф булишини топамиз. Каралаётган юю нукта D сщханинг итиёрий нуктаси булганлигидан f(z) функцияни D сохада голоморф булиши келиб чикади.
Натижа:

Юкорида келтирилгпан Вейерштрасс теоремасининг шарти бажарилганда каторни исталган марта хадлаб диференсиаллаш мумкин булиб, булади.

Голоморф функциянинг ноллари

Фараз килайлик, бирор f(z) функсиянинг кенгайтирилган комплекс текисликда да, берилган булиб, булсин , Агар f(a)=0 булса, a комплекс сон f(z) функсиянинг ноли дейилади,
Айтайлик. F(z) функция z=a нуктада голоморф булсин. Бу функцияни a нукта атрофида даражани каторга ёямиз:
(10)
Агар z=a нукта f(z) функциянинг ноли булса, у холда булиб, (10) формула ушбу куринишга келади. Айтайлик (10) да булиб булсин , у холда (10) тенгликдан

булиши келиб чикади. Маьлумки, юкоридаги (11) муносабатни этиборга олиб, булишини топамиз. Бу холда z=a нукта f(z) функциянинг m каррали ноли дейилади.

Шундай килиб, z=a функциянинг m каррали ноли булса , у холда булиб, функция z=a нуктада голоморф булади. Аксинча, агар f(z) функция куйидагича ифодаланиб, g(z) функция z=a нуктада голоморф булса, z=a нукта f(z) функциянинг m каррали ноли булади. f(z) функция нуктада голоморф булсин, бу холда нукта атрофида f(z) функция ушбу
(13)
каторга ёйилади. нукта f(z) фукциянинг ноли булсин. Равщанки, у холда булиб, (12) формуло ушбу ююю куринишга келади. Айтайлик, (13) формулада булиб, булсин. Бу холда
нукта f(z) функциянинг m каррали ноли булади. У холда (13) дан булишини топамиз. Бу ерда функция учун булиб, функция нуктада голоморф булади. Аксинча, агар f(z) функция куйидагича ифодаланиб, функция нуктада голоморф булса, у холда нукта f(z) функциянинг m каррали ноли булади.
Теорема
Фараз килайлик, f(z) функция z=a нукта голоморф булиб, шу юю нукта z=a ю функциянинг ноли булсин, f(a)=0 у холда ё f(z) функция a нуктанинг бирор атрофида айнан нолга тенг. ёки a нуктанинг шундай атрофи топиладики, бу атрофда f(z) функциянинг z=a нуктадан бошка ноли булмайди.
Исбот
Шундай килиб, f(z) функция z=a нуктада голоморф унда функция z=a нукта атрофида каторга ёйилади.
(14)
Айтайлик, (14) барча лар нолга тенг булсин. равшвнки бу холда функция z=a нукта атрофида f(z) булади. Энди (14) булиб, булсин. Бу холда z=a нукта f(z) функциянинг m каррали ноли булиб, у куйидагича ифодаланади. Бу ерда g(z) функция z=a нуктада узлуксиз хам булади. Унда буганлиги сабабли z=a нуктанинг шундай атрофи топиладики, бу атрофда булади. Бинобарин шу атрофда f(z) функциянинг z=a нуктадан бошка нолллари булмайди.

Тачн иборалар: лимит нукта, функция ноли, –каррали ноли, функционал катор текис якинлашувчилиги, кетма–кетлик

Уз –узини текшириш учун саволлар:

1. 
   Ягоналик теоремаси.
   
2. 
   Вейерштрасс теоремаси.
   
3. 
   Функция ноли таърифи.
   
4. 
   Функциянинг –каррали ноли таърифи.