Урганч давлат университети р. М. Мадрахимов, С. А. Имомкулов, Б. И. Абдуллаев, Ж. Р. Ярметов

Теорема 2. Агар халкада функция (1) Лоран катори шаклида тасвирланган булса, уни коэффициентлари (2) формула оркали аникланади. Бошкача килиб айтганда Лоран каторини коэффициентлари ягона йул билан аникланади.
Исбот: айланани оламиз. катор айланада текис якинлашувчи булади. Бу каторни иккала томонини га купайтиб хадма –хад интеграллаймиз.
Бизга маълумки эди. Бундан чап томондаги барча интеграллар факат булган холдан ташкари 0 га тенг. Демак,
бу эса (2) формуладир
Мисол. функция халкаларда голоморфдир. Шунинг учун функцияни шу халкаларда ёямиз. Аввал функцияни халкада Лоран каторига ёйамиз. булганлигидан Бу катор доирада якинлашувчи да якинлашувчи га тенг. халкада. халкада эса да якинлашувчи. Шунинг учун халкада
Э нди халкада функцияни Лоран каторига ёйамиз.
Бу катор да якинлашувчи. Шунинг учун халкада
Таянч иборалар: чегараланмаган функция, Кошининг интеграл теоремаси, даражали катор, даражали катор радиуси, Коши –Адамар формуласи.
Уз –узини текшириш учун саволлар:
1) Лоран катори.
2) Лоран катори коэффициенлари куриниши.
3) Лоран катори бош кисми деб кайси каторга айтилади.
4) Тугри кисм деб кайси каторга айтилади.
16- Маъруза.


ЯККАЛАНГАН МАХСУС НУКТАЛАР.
СОХОДЦКИЙ ТЕОРЕМАСИ
1 –Таъриф. нукта учун яккаланган махсус нукта дейилади, агарда нуктани кандайдир уйилган атрофида функция голоморф булса. ( нуктани уйилган атрофии деганда халка тушунилади нукта учун халка тушунилади).
2 –Таъриф . а) агар мавжуд ва чекли булса нуктага кутулиб буладиган махсус нукта дейилади.
б) агар мавжуд ва га тенг булса, нуктага кутб махсус нукта дейилади.
в) Агар лимит мавжуд булмаса, у холда нуктага мухим махсус нукта дейилади.
Мисол.
1. функция учун нукта кутилиб буладиган махсус нуктадир. Чунки
2. функция учун нукта кутб махсус нукта
3. функция учун нукта мухим махсус нукта
4. функция учун нукталар кутб махсус нукталардир. Ноль нукта функция учун яккаланмаган мхсус нукталардир.
5. функцияни махсус нукталари анча мураккаб.

Катор доирада якинлашувчи, Коши –Адамар формуласини кулласак, , . Шунинг учун функция доирада голоморфдир. тенгсизлик натурал сон учун уринлидир.

Юкоридаги тенгсизликдан эканлиги келиб чикади. функция учун нукта махсус нукта (кутб). Шундай килиб,
тенгликдан нукта хам функция учун махсус нукта эканлиги келиб чикади. тенгликдан нукталарнинг махсус нукталар эканлиги келиб чикади. шаклдаги нукталар туплами айланани хама жойда зич булган тупламни ташкил этади.
Шунинг учун айлананинг барча нукталари функция учун махсус нуктадир.
Эслатма. Тейлор каторидаги каби Лоран каторини коэффициентлари учун хам коши тенгсизлиги уринлидир.
халкада якинлашувчи булган Лоран каторини коэффициентлари учун тенгсизлик уринлидир.
Исботи Тейлор каторидаги каби исботланади.