Урганч давлат университети р. М. Мадрахимов, С. А. Имомкулов, Б. И. Абдуллаев, Ж. Р. Ярметов

1–Теорема. нукта кутилиб буладиган махсус нукта булганлиги учун функцияни шу нукта атрофидаги Лоран каторини бош кисми мавжуд булмаслиги зарур ва етарли.
Исбот (Зарурлиги) кутилиб буладиган махсус нукта булсин. У холда чекли лимит мавжуд. Шунинг учун функция каралаётган атрофида чегаралангандир.
Коши тенгсизлигига кура тенгсизлик уринли.
Охирги тенгсизликдан да лимитга утсак, Демак, бош кисми йук.
Етарлилиги. функция нукта атрофидаги Лоран каторига ёйилмасининг бош кисми мавжуд булмасин. Бу тенгсизликдан –чекли сон. кутилиб буладиган махсус нукта.
2–Тоерема. яккаланган махсус нукта функция учун кутб махсус нукта булишлиги учун унинг нукта атрофидаги Лоран катори ёйилмаси бош кисмини чеклитаси 0 дан фаркли булиши зарур ва етарли.
Исбот. (Зарурлиги.) кутб махсус нукта булсин, яъни деб белгилаш киритамиз. функция нуктаки атрофида голоморфдир ва . Бундан

ёйилма уринли булади. –натурал сон.

функция нукталарни кандайдир атрофида аналитик функция бирлиги учун бу функцияларнинг шу нукта атрофида Тейлор каторига ёйиш мумкин.
Демак,
.
Етарлилиги. функция нуктани тешик атрофида Лоран каторига ёйиш мумкин булсин. функцияни киритамиз. . Бундан булганлиги учун . Демак, нукта функция учун кутб махсус нукта экан. 1 ва 2 теоредан куйидаги 3 чи теорема келиб чикади.
3–Теорема. яккаланган махсус нукта мухим махсус нукта булишлиги учуч функциянинг нукта атрофидаги Лоран катори ёйилмасида манфий даражаларни чексизтаси катнашиши зарур ва етарли.