Usullarisining predmeti va metodi. Xatoliklar nazariyasi va ularni kelib chiqish manbalari

HISOBLASh USULLARISINING PREDMETI VA METODI. XATOLIKLAR NAZARIYASI VA ULARNI KELIB CHIQISH MANBALARI.
Reja:

1. 
   Hisoblash matematikasining kelib chiqish tarixi.
   
2. 
   Hisoblash matematikasining asosiy vazifasi va usuli.
   
3. 
   Absolyut va nisbiy xatolik.
   

Tayanch iboralar: matematika, metod (usul), model, masala, tenglama, operator, to’g’ri masala, teskari masala, absolyut xatolik, nisbiy xatolik
Matematika turmush masalalarini yechishga bo’lgan ehtiyoj (yuzlar va hajmlarni o’lchash, kema harakatinn boshqarish, yulduzlar harakatini kuzatish va boshqalar) tufayli vujudga kelganligi uchun ham u sonli matematika, ya’ni hisoblash matematikasi bo’lib, unnig maqsadi esa masala yechimini son shaklida topishdan iborat edi. Bu fikrga ishonch hosil qilish uchun matematika tarixiga nazar tashlash kifoyadir.
Vavilon olimlarining asosiy faoliyati matematik jadvallar tuzishdan iborat bo’lgan. Shu jadvallardan bizgacha yetib kelgaplaridan biri miloddan 2000 yil avval tuzilgan bo’lib, unda 1 dan 60 gacha bo’lgan sonlarning kvadratlari keltirilgan. Miloddan avvalgi 747-yilda tuzilgan boshqa bir jadvalda Oy va Quyoshning tutnlish vaqtlari keltirilgan. Qadimgi misrliklar ham faol hisobchilar bo’lganlar. Ular murakkab - (alikvota yoki Misr kasrlari deb ataluvchi) kasrlarni surati birga teng bo’lgan oddiy kasrlar yig’indisi (masalan: ) shaklida ifodalovchi jadvallar tuzishgan va chiziqli bo’lmagan algebraik tenglamalarni yechish uchun vatarlar usulini yaratishgan. Grek matematiklariga kelsak, miloddan avval 220- yillar atrofida Arximed soni uchun tengsizlikni ko’rsatdi. Geronning miloddan avvalgi 100-yillar atrofida ushbu iterasion metoddan foydalanganligi ma’lum. Diofant III asrda anikmas tenglamalarni yechishdan tashqari kvadrat tenglamalarni sonli yechiщ usulini yaratgan.
IX asrda yashagan buyuk o’zbek matematigi Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy hisoblash metodlarini yaratishga katta hissa qo’shgan. Al-Xorazmiy qiymatni aniqladi, matematik jadvallarni tuzishda faol qatnashdi. Abulvafo al-Buzjoniy 960-yilda sinuslar jadvalini hisoblash metodini ishlab chiqdi va ning qiymatini to’qqizta ishonchli raqami bilan berdi. Bundan tashqari, funksiyasidan foydalandi va uning qiymatlari jadvalini tuzdi. XVII asrda ingliz matematigi J. Neper (1614, 1619), shvesiyalik I. Byurgi (1620), ingliz Brigs (1617), gollandiyalik A. Blakk (1628) va boshqalar tomonidan yaratilgan logarifmik jadvallar Laplas so’zi bilan aytganda: «... hisoblashlarni qisqartirib, astronomlarning umrini uzaytirdi».
Nihoyat, 1845 yilda Adams va 1846 yilda Leveryelarning hisablashlari natijasida Neptun sayyorasining mavjudligi va uning fazodagi o’rnini oldindan aytishlari hisoblash ma­tematikasining buyuk g’alabasi edi. Tadbiqiy masalalarni sonli yechish matematiklar e’tiborini doim o’ziga tortar edi. Shuning uchun ham o’tgan zamonning buyuk matematiklari o’z tadqiqotlarida tabiiy jarayonlarni o’rganish, ularning modellarinn tuzish va modellarni tadqiq etish ishlarinn birga qo’shib olib borishgan. Ular bu modellarii tekshirish uchun shaxsus hisoblash metodlariii yaratishgan. Bu metodlarning ayrimlari Nyuton, Eyler, Lobachevskiy, Gauss, Chebishev, Ermit nomlari bilan bog’liqdir. Bu shundan dalolat beradiki, hisoblash metodlarini yaratishda o’z zamonasining buyuk matematiklari shug’ullanishgan.
Shuni ham aytish kerakki, limitlar nazariyasi yaratilgandan so’ng matematiklarning asosiy diqqat-e’tibori matematik metodlarga qat’iy mantiqiy zamin tayyorlashga, bu mstodlar qo’llaniladigan obyektlar sonini orttirishga, matematik obyektlarni sifat jihatdan o’rganishga qaratilgan edi. Natijada matematikaning juda muhim va ayni paytda ko’pnncha qiyinchilik tug’diradigan sohasi: matematik tadqiqotlarni so’nggi sonli natijalargacha yetkazish, ya’ni hisoblash metodlari yaratishga kam e’tibor berilar edi, bu soha esa matematikaning tadbiqlari uchun juda zarurdir.
Matematikaning hozirgi zamon fan va texnikasining xilma-xil sohalaridagi tadbiqlarida, odatda, shunday tipik matematik masalalarga duch kelinadiki, ularni klassik metodlar bilan yechish mumkin emas yoki yechish mumkin bo’lgan taqdirda ham yechim shunday murakkab ko’rinishda bo’ladiki, undan samarali foydalanishning iloji bo’lmaydi. Bundan tipik ma­tematik masalalarga algebra (odatda tartibi juda katta bo’lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiin yechish, matrisalarning teskarisini topish, matrisalarning xos sonlarini topish, algebraik va transsendent tenglaialar hamda bunday tenglamalar sistemasini yechish), matematik analiz (sonli integrallash va differensiallash, funksiyani yaqinlashtirish masalalari) hamda oddiy va xususiy hosilaviy differensi­al tenglamalarni yechish masalalari va boshqalar kiradi.
Fan va texnikaning jadal ravishda rivojlanishi, atom yadrosidan foydalanish, uchuvchi apparatlar (samolyot, raketa) ni loyihalash, kosmik uchish dinamikasi, boshqariladigan termoyadro sintezi muammosi munosabati bilan plazma fizikasini o’rganish va shunga o’xshash ko’p masalalarni tekshirish va yechishni taqozo qilmoqda. Bunday masalalar o’z navbatida matematiklar oldiga yangidan-yangi hisoblash metodlarini yaratish vazifasini qo’yadi. Ikkinchi tomondan fan va texnika yutuqlari matematiklar ixtiyoriga kuchli hisoblash vositalarini bermoqda. Buning natijasida esa mavjud metodlarni yangi mashinalarda qo’llash uchun qaytadan ko’rib chiqish ehtiyoji tug’ilmoqda.
Matematikada tipik matematik masalalarning yechimlarini yetarlicha aniqlikda hisoblash imkonini beruvchn metodlar yaratishga va shu maqsadda xozirgi zamon hisoblash vositalaridan foydalanish yo’llarini ishlab chiqishga bag’ishlangan soha hisoblash matematikasi deyiladi.
Hozirgi zamon hisoblash matsmatikasi jadal rivojlanib bormoqda. Hisoblash matematikasi qamragan masalalar turi juda ko’p. Tabiiyki, bu masalalarni yechish metodlari ham xilma-xildir, shunga qaramay bu metodlarning umumiy g’oyasi haqida so’z yuritish mumkin. Buning uchun avval funksional analizga tegishli bo’lgan ayrim tushunchalarni keltiramiz. Agar biror to’plamda u yoki bu yo’l bilan limit tushunchasi kiritilgan bo’lsa, u holda bu to’plam abstrakt fazo deyiladi.
Elementlari ketma-ketliklardan yoki funksiyalardan iborat bo’lgan fazo funksional fazo deyiladi. Biror funksio­nal fazoni ikkinchi bir funksional fazoga akslantiradigan A amal operator deyiladi. Agar operatorning qiymatlari tashkil etgan fazo sonli fazo bo’lsa, u holda bunday operator funksional deyiladi.
Hisoblash matematikasida uchraydigan ko’p masalalarni
(1.1)
shaklida yozish mumkin, bu yerda x va u berilgan va funksional fazolarning elementlari bo’lab, - operator yoki xususiy holda funksionaldir. Agar operator va x element haqida ma’lumot berilgan bo’lib, u ni topish lozim bo’lsa, bunday masala to’g’ri masala deyiladi, Aksincha, A za u haqida ma’lumot berilgan bo’lib, ni topish kerak bo’lsa, bunday masala teskari masala deyiladi. Odatda teskari masalani yechish ancha murakkabdir. Bu masalalar har doim ham aniq yechilavermaydi. Bunday hollarda hisoblash matematikasiga murojaat qilinadi.
Ba’zan masalani aniq yechish ham mumkin, lekin klassik matematika metodlari bilan kerakli sonli qiymat olish uchun juda ko’p hisoblashlar talab qilinadi. Shuning uchun ham hisoblash matematikasi zimmasiga konkret masalalarni yechish uchun oqilona va tejamkor metodlar ishlab chiqish yuklanadi (masalan, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda Kramer formulalariga nisbatan Gauss metodi ancha tejamkor metoddir).
Hisoblash matematikasida yuqoridagi masalalarni hal qilishning asosiy mohiyati , fazolarni va operatorni hisoblash uchun qulay bo’lgan mos ravishda boshqa fazolar va operator bilan alamashtirishdan iboratdir. Ba’zan faqat va , fazolar yoki faqatgina ulardan birortasini, ba’zan esa faqat A operatorni almashtirish kifoyadir. Bu almashtirishlar shunday bajarilishi kerakki, natijada hosil bo’lgan yangi

masalaning yechimi biror ma’noda berilgan (1) masalaning yechimiga yaqin bo’lsin va bu yechimni nisbatan ko’p mehnat sarflamasdan topish mumkin bo’lsin.
Bunga misol sifatida shunn ko’rsatish mumkinki, odatda matematik fizika tenglamalari u yoki bu strukturaga ega bo’l­gan algebraik tenglamalar sistemasiga keltirilib yechiladi.
Demak, hisoblash matematikasi oldidagi asosiy masala funksional fazolarda to’plamlarni va ularda aniqlangan operatorlar (funksionallar) ni yaqinlashtirish hamda hozirgi zamon hisoblash mashinalari qo’llaniladigan sharoitda masalalarni yechish uchun oqilona va tejamkor algoritm va metodlar ishlab chiqishdan iboratdir.

Mustaqil ishlash uchun savollar

1. 
   Hisoblash matematikasining fan sifatida paydo bo’lishi.
   
2. 
   Hisoblash matematikasi vazifasi.
   
3. 
   Hisoblash matematikasi metodi (usuli)