Uzoq yillar davomida vujudga kelgan eski ta’lim tizimini tubdan qayta qurmasdan va isloh etmasdan turib bu maqsadga erishish mumkin emas

Algebra va analiz asoslari fani mavzulari buyicha dars soatlari
taksimoti

№	Bulimlar nomi	Ajratil-gan soatlar
1.	To‘plamlar nazariyasi elementlari	6
9	Haqiqiy sonlar	14
3.	Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar	18
4.	Trigonometriya	18
5.	Ko‘rsatkichli funksiyalar	10
6.	Logarifmik funksiyalar	20
7.	Hosila va uning tatbiqlari	24
8.	Integral va uning xossalari	18
9.	Extimollar nazariyasi va matematik statistika elementlari	12
Jami		140

1.2-§. Funksiyaning hosilasi va differensiali.
1. Funksiyaning orttirmasi. Ushbu darslikda funksiyalar qiymatlari jadvalini tuzish jarayonida funksiyaning chekli ayirmasi bilan tanishtirib o‘tilgan. Unda funksiya argumentining diskret qiymatlarida qaralgan, funksiya o‘zining bir qiymatidan ikkinchi qiymatida sakrab o‘tayotgandek bo‘ladi, bunda jadval qadami. Endi biz argumentning uzluksiz o‘zgarishiga bog’liq masalani o‘tamiz.
To‘g’ri chiziqli harakat qilayotgan nuqtaning x vaqt momentidagi
koordinatasi (o‘tilgan masofa) bo‘lsin. Nuqta vaqt oralig’ida qadar ko‘chadi. Agar bunda bo‘lsa, ko‘chish musbat yo‘nalishda, bo‘lsa, ko‘chish manfiy yo‘nalishda bajarilgan bo‘ladi.
dan ga ko‘chishdagi ayirma argumentning nuqtadagi orttirmasi deyiladi.
1-misol. Argumentning boshlang’ich qiymati orttirmasi . funksiya orttirmasini topamiz.
Yechish. Argument dan ga ortgan: . U holda
.
2-misol. Argumentning orttirmasi ga teng. chiziqli funksiya orttirmasini topamiz.
Yechish.

3-misol. Kubning tomoni ga teng. Agar tomonlar qadar orttirilsa, uning hajmi qanday o‘zgaradi?
Yechish. Tomonlar ga orttirilgan so‘ng uning hajmi ga teng bo‘ladi. Natijada kubning hajmi

ga ortadi.
2. Funksiya hosilasi. funksiya grafigining (1;1) nuqta yaqinidagi holatni kuzataylik. V. 1 – rasmda parobolaning uzunlikdagi [0;2] kesma usidagi qismi tasvirlangan. Chiziq o‘z egriligi bilan shu nuqtadan o‘tuvchi urinuvchi to‘g’ri chiziqdan keskin farq qiladi. Shu nuqta atrofini kattaroq tasvirlaylik (V.1 –b rasm).
Parabolaning nisbatan kichik uzunlikka ega bo‘lgan [0,9;1,1] kesmadagi qismi uncha egri emas. ning yanada kichik qiymatlarida parabola va to‘g’ri chiziq kesmalari deyarli usma –us tushadi, ya’ni rarabola (1; 1) nuqta yaqinida “chiziqli kichik” holatida bo‘ladi. U boshqa nuqtalar yaqinida ham shunday “chiziq kichik” xossasiga ega bo‘ladi. Fizika nuqtayi nazardan “chiziqli kichiklik” xossasi mos fizik jarayon deyarli tekis, deyarli doimiy tezlik bilan ro‘y berayotganini anglatadi. Matematikada “Chiziqli kichik holatdagi funksiya” tushunchasi differensiallanuvchi nomi bilan ataladi (lot.: differentia -ayirma). Holatni matematik jihatdan tushuntiramiz.
Agar dan ga o‘tishda funksiya orttirmasini
(1)
ko‘rinishda berish mumkin bo‘lsa, funksiya da differensiallanuvchi funksiya deyiladi, bunda son, funksiya da cheksiz kichik,
Masalan, chiziqli funksiya orttirmasi

ya’ni bo‘lishini ko‘ramiz. Demak, chiziqli funksiya ning barcha qiymatlarida differensiallanadi.
Boshqa differensiallanuvchi funksiyalar uchun va orttirmalarning faqat taqribiy proporsionalligi o‘rinli bo‘ladi:
,
bundagi chetlanish ga teng.
1 –misol. funksiya ning isalgan qiymatida differensiallanadi. Haqiqatan, funksiya dan ga o‘tishda

orttirmaga ega, undagi ta’rif bo‘yicha ni, esa funksiyani ifodalaydi,

1. 
   tenglikdan: bunda Bularga ko‘ra:
   

(2)
va

Aksincha, bu limitli ifodadan (1) tenglikni hosil qilish mumkin.
Shu tariqa ushbu teorema isbot qilinadi.
Teorema. limit mavjud bo‘lgandagina funksiya differensiallanadi va uning orttirmasi

bo‘ladi, bunda .
tenglik funksiyaning differensiallanishini xarakterlaydi. Masalan, doimiy tezlik bilan to‘g’ri chiziqli tekis harakat qilayotgan jism vaqtda masofani bosib o‘tsin, bunda harakat boshlanguncha o‘tilgan masofa, bog’lanish funksiyaning o‘zi, mexanika nuqtayi nazaridan son harakat tezligi, geometrik jihatdan to‘g’ri chiziqning burchak koeffitsiyenti miqdorini ifodalaydi. ning qiymatidan iborat. Bu funksiya funksiyaning hosilasi deb ataladi va orqali belgilanadi.
ning nuqtadagi qiymati ushbu formula bo‘yicha topiladi:
(3)
bunda argument orttirmasi.
Shunday qilib, funksiya orttirmasi ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, son hosilaning qiymatini beradi.
Jism momentida koordinatali nuqtada, momentda koordinatali nuqtada bo‘lsin. vaqt oralig’ida masofani o‘rtacha tezlik bilan o‘tadi, bunda o‘tgan vaqt. O‘rtacha tezlikning dagi limiti, ya’ni hosila to‘g’ri chiziqli harakatning momentdagi oniy (bir lahzadagi) tezligini ifodalaydi.

Bir jinsli serjenning uzunlikdagi qismining massasi , bunda son –serjenning chiziqli zichligi. Agar serjen bir jinsli bo‘lmasa, uning uzunlikdagi AV qismining massasi bo‘ladi, bunda qiymat serjenning boshlang’ich uchining koordinatasi. qismning o‘rtacha zichligi:

bunda nuqtadagi chiziqli zichlik bo‘ladi.
Har qanday doimiy sonning hosilasi nolga teng. Chunki, yozuvi bo‘yicha ni olamiz. Demak, .
Lekin bo‘ladi. Chunki

bo‘lganidan, yozuv bo‘yicha olinadi.
yopiq kesmaning nuqtasida funksiyaning o‘ng tomonli, nuqtasida esa chap tomonli differensiallanish haqida so‘z borishi mumkin:

2–misol. (3) formuladan foydalanib, funksiya hosilasini topamiz, bunda biror doimiy son,
Yechish. u holda:

3 –misol. 1) 2) 3) 4) funksiyalarning hosilalarini topamiz.
Yechish. 1) bundan ya’ni bo‘lishini aniqlaymiz. Bu misolda (3) kabi limit formulalardan foydalanishga hojat bo‘lmadi;
2) (1) formula bo‘yicha:

Orttirma ko‘rinishda tasvirlandi. Unda demak,
3) funksiya orttirmasi:

Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbati:

topilgan nisbatning dagi limiti:

Demak,
4)