Uzoq yillar davomida vujudga kelgan eski ta’lim tizimini tubdan qayta qurmasdan va isloh etmasdan turib bu maqsadga erishish mumkin emas

5. Differensiallanuvchi funksiyaning uzluksizligi.
Oldingi boblardan funksiyaning uzluksizligi haqida bir qadar ma’lumotga egamiz. funksiyaning nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun:

1. 
   bunda aniq qiymat: 2) bo‘lishi kerak. Bu shartlardan aqalli biri bajarilmay qolsa, funksiya nuqtada uziladi. Masalan, funksiya nuqtada uzluksiz. Chunki Lekin u da uziladi: 1 –shart bajarilmaydi (Funksiya aniq qiymatga ega emas). Uning grafigiga, masalan, (1;3) nuqta kiritilishi bilan tuziladigan ushbu
   

funksiya ham uzilishga ega: endi 1 –shart bajariladi, 2 –shart esa bajarilmaydi: (cheksiz limit). Masalani oydinlashtirish maqsadida ushbu teoremadan foydalanamiz:
Teorema. Agar funksiya nuqtada differensiallansa, u shu nuqtada uzluksizdir.
Isbot. nuqtada funksiya differensiallansin: Lekin da va Bundan yoki Bu esa funksiyaning nuqtada uzluksizligini bildiradi.
Teskari fikr noto‘g’ri, funksiya biror nuqtada uzluksiz bo‘lsada unda differensiallanmasligi ham mumkin. Masalan, funksiya barcha nuqtalarda uzluksiz, lekin da differensiallanmaydi. Haqiqatan, funksiya ifodasini ko‘rinishda yozaylik. Funksiyaning nuqtadagi o‘ng tomonli va chap tomonli limitlari teng:

Demak, funksiya nuqtada uzluksiz. Lekin u shu nuqtada differensiallanadimi? Ixtiyoriy da da ya’ni hosila qiymatini berishi kerak bo‘lgan o‘ng va chap tomonli limitlar teng emas. Demak, nuqtada funksiyaning hosilasi mavjud emas, funksiya bu nuqtada bu nuqtada differensiallanmaydi, grafigi o‘z yo‘nalishini o‘zgartiradi.
II. bob. Hosilaning funksiya grafigini tekshirishga tatbiqlari.
2.1-§. Funksiyaning ekstremumlarini aniqlash.
1. Agar [a; b] kesmada f(x) funksiya o‘suvchi bo‘lsa (V.5-rasm) shu kesmaga tegishli ixtiyoriy abssissali nuqtada f (x) grafigiga o‘tkazilgan urinma OX o‘qining musbat yo‘nalishi bilan  o‘tkir burchak tashkil etadi. O‘tkir burchak tangansi esa musbat, tg > 0, bundan
k = f(x₁)>0
ni aniqlaymiz.
Shu kabi [d;e] da f funksiya kamayuvchi bo‘lsa, o‘tmas burchak va
k=tg=f(x)<0
bo‘ladi.
f funksiya o‘suvchi, ya’ni bo‘lganda f(x₁)<f(x₁+h) bo‘lib, argumentning orttirmasi va funksiyaning unga mos orttirmasi bir xil ishorali, funksiya kamayuvchi bo‘lganda esa qarama-qarshi ishorali bo‘ladi.
1-teorema. Agar x₁ nuqtada f funksiyaning hosilasi f (x₁)>>0 bo‘lsa, shu nuqta yaqinida argumentning x=h va funksiyaning y =f(x₀+h)-f(x₀) orttirmalari bir xil ishorali, f¢(x₁)<0 bo‘lganda bu orttirmalar qarama-qarshi ishorali bo‘ladi.
Isbot. Shartga ko‘ra nuqtada f¢ hosila mavjud. U holda dan ga o‘tishdagi funksiya orttirmasini
f=f (x₁+h)-f (x₁)=(f ¢(x₁)+)h
ko‘paytma ko‘rinishida yozish mumkin.  funksiya h0 da cheksiz kichik, . Shunga ko‘ra h0 da f¢ va f ¢+ lar x₁ nuqta yaqinida bir oil ishoraga ega bo‘ladi. Demak, ikki hil bo‘lishi mumkin:
1) yo f¢>0, u holda ko‘paytmadagi Df va h orttirmalar bir xil ishorali;
2) yoki f¢<0, bu holda Df va h orttirmalar har oil ishorali. Isbot bo‘ldi.
x₀ nuqtaning (V.5-rasm) chap yaqinida f¢(x₀-h)<0, o‘zida f¢(x₀)=0 (chunki (x₁, f(x₁)) nuqtadan o‘tuvchi urinma OX o‘qiga parallal, g=0, tgg=0), o‘ng yaqinida f¢(x₀+h)>0. Shu bilan birga f ning x₀ nuqta atrofidagi qiymatlari x₀ dagi qiymatidan kichik emas, f(x₀+h)≥f(x₀), ya’ni f (x) funksiya x₀ nuqtada minimumga erishadi. Aksincha, f (x₃±h)≤f(x₃), ya’ni funksiya x₃ nuqtada maksimumga erishadi. Maksimum va minimum nuqtalarini birgalikda funksiyaning ekstremum nuqtalari deb ataladi.
Shunday qilib, funksiyaning nuqtada ekstremumga (ekstremal qiymatga) ega bo‘lishi uning shu nuqtada va uning atrofida qanday qiymat qabul qilishiga bog‘liq. Ekstremum nuqtasida f¢=0 bo‘lib, unda f grafigiga urinma OX o‘qiga parallal bo‘ladi. Lekin hosila mavjud bo‘lmagan (funksiya differensiallanmaydigan) nuqtalarda ham funksiya ekstremumga ega bo‘lishi mumkin. V.6-rasmda A maksimum nuqtasidan o‘tgan urinma OY o‘qiga parallel (g=90°), f¢(x=a)=tg90°= . Chizmadagi C maksimum nuqtasidan esa bittadan ortiq (chizmada ikkita) urinma o‘tayotganligidan bu holda ham hosila mavjud emas.
2-teorema. f funksiyaning hosilasi x₀ ekstremum nuqtada yo nolga teng, yoki mavjud emas.
Isbot . To‘rt hol bo‘lishi mumkin:
1) f¢(x₀)>0;
2) f¢(x₀)<0;
3) f¢(x₀)=0;
4) f¢(x₀) hosila mavjud emas.
Agar f¢(x₀)>0 bo‘lsa, 1-teoremaga muvofiq x₀ nuqta yaqinida Df va Dx orttirmalar bir xil ishoraga ega bo‘ladi:
[x₀-h; x₀] kesmada Dx=x₀-(x₀-h)=h>0 va Df = f (x₀)-f(x₀-h)>0;
[x₀;x₀+h] kesmada Dx= x₀-h-x₀=h>0 va Df = f(x₀+h)- f (x₀)>0;
Bunga qaraganda [x₀-h;x₀+h] kesmada f(x₀-h)<f(x)<f(x₀+h) o‘rinli, ya’ni x₀–ekstremum nuqtasi emas.
Shu kabi, agar f¢(x₀)<0 bo‘lsa, f funksiya x₀ nuqtada ekstremumga ega bo‘lmasligi isbotlanadi. Demak, f¢(x)=0 bo‘ladigan yoki f(x) mavjud bo‘lmagan nuqtalar ekstremum nuqtalari bo‘lishi mumkin.
Bu teorema ekstremumlikka «shubhali» nuqtalarni aniqlashga imkon beradi. Ular orasidan haqiqatan ham ekstremum nuqtalari ajratib ilinishi kerak. Masalan, f(x)=(x-2)³ funksiyaning hosilasi f(x)=3(x-2)² va o‘zi x=2 da nolga aylanadi. Lekin bu nuqta ekstremum nuqtasi emas. Chunki x=2 dan chapda (x-2)³ funksiya manfiy, o‘ngda musbat, ya’ni funksiya grafigi bu nuqtada buriladi.
V.6-rasmda funksiya B nuqtada bukiladi, x=d da uziladi, uning chap va o‘ng tomonlarida hosila mavjud va turli ishoralarga ega, nuqtaning o‘zida ekstremumga ega emas. V.5-rasmda garchi x=2 nuqtada f=0 bo‘lsa-da, bu nuqtada ekstremum yo‘q, grafik bukilishga ega.
1-misol. funksiyaning maksimum va minimumini topamiz.
Yechish. Ekstremumga „shubhali“ nuqtalarni topamiz. Buning uchun y¢=0 tenglamani yechamiz. tenglamaning ildizlari va 1. funkksiyaning nuqta atrofidagi holatni tekshiramiz:

Bu nuqtada y ning ishorasi «+» dan «-» ga o‘zgarmiqda. Demak, funksiya -1/3 da maksimumga erishadi, funksiyaning bu qiymatini topish uchun -1/3 ni funksiya ifodasiga qo‘yamiz:

x=1 nuqta ham shu kabi teshiriladi:

Funksiya x=1 da minimumga erishadi. Uni hisolaymiz:
f(1)=1³-1²-1=-1. Shunday qilib, -unksiyaning maksimum nuqtasi, (-1;1)–minimum nuqtasi.
2-misol. funksiya ekstremumga ega bo‘lishi mumkin bo‘lgan nuqtalarni aniqlaymiz va ekstremumlarni hisoblaymiz.
Yechish.
Barcha x≠0 nuqtalarda y>0 Demak, x≠0 da hosila mavjud, lekin u nolga teng emas, funksiya ekstremumga erishmaydi.
x=0 da esa hosilaning ta’rifi bo‘yicha:

Hosilaning x=0 nuqta atrofidagi ishoralarini aniqlaymiz: hosilaning ishorasi manfiy,  orqali musbatga o‘zgarmoqda. x=0 nuqtada funksiya hosilasi mavjud emas, lekin unda funksiya minimumga erishadi (V.7-rasm). Uni topamiz: .
Shunday qilib, (0;0)–minimum nuqtasi, unda funksiya grafigi sinadi.