Uzoq yillar davomida vujudga kelgan eski ta’lim tizimini tubdan qayta qurmasdan va isloh etmasdan turib bu maqsadga erishish mumkin emas

V.7-rasm.
2. Funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish. Bu turdagi masalalar bilan oldin ham shug‘ullanganmiz (Koshi tengsizligi va hokazo). Endi ularda hosilaning tatbiqi bilan tanishamiz. V.8-rasmda f (x) uzluksiz funksiyaning [a; b] kesmaga mos qiymatlari to‘plami [m; M] kesmadan iboratligi tasvirlangan.
Bu qiymatlardan eng kichigi ga, eng kattasi ga teng. Ular [a; b] kesmaning uchlariga (masalan, chizmada x=b ga), ekstremum beradigan, ya’ni hosila nolga aylanadigan nuqtalarga (B, D minimum nuqtalariga, E maksimum nuqtasiga), V.7-rasmda tasvirlanganidek hosila cheksizlikka aylanadigan nuqtalarga (O nuqta–minimum nuqtasi, eng kichik qiymat nuqtasi), V.9-rasmda tasvirlangandek x=c uzilish nuqtasiga to‘g‘ri kelishi mumkin. Keyingi holda funksiyaning eng katta qiymati f(c)=M, eng kichik qiymati f (c)=0.
Uzluksiz funksiyaning [a; b] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini izlash tartibi quyidagicha:

a) funksiyaning kesma uchlaridagi f (a) va f (b) qiymatlarini topish;
b) hosila f=0 bo‘ladigan nuqtalarda funksiyaning qiymatlarini topish;
d) hosila mavjud bo‘lmagan nuqtalardagi funksiyaning qiymatlarini topish;
e) bu topilgan barcha qiymatlardan eng katta va eng kichigin aniqlash kerak.
Ba’zan quyidagi hollardan foydalanish ishni yengillashtiradi:
1) agar f (x) funksiya x₀ nuqtada o‘zining eng katta (eng kichik) qiymatini qabul qilsa, f (x)+A, f (x)B (bunda B>0) funksiyalar ham, shuningdak, f (x)≥0 bo‘lganda (f (x))ⁿ, nN ham shu nuqtada o‘zining eng katta (eng kichik) qiymatini qabul qiladi. Faqat B<0 bo‘lganda f (x)B funksiya, aksincha, eng kichik (eng katta) qiymatga erishishi mumkin. Masalan, y=x² kabi funksiyalar ham [1;2] kesmada eng katta qiymatni x=2 da, eng kichik qiymatni x=0 da qabul qiladi;
2) agar f funksiya x₀ nuqtada eng katta (eng kichik) qiymatni qabul qilgan bo‘lsa, shu nuqtada f va 1/f funksiyalar o‘zlarining eng kichik (mos ravishda eng katta) qiymatini qabul qiladi.
1-misol. 12 sonini shunday ikki qo‘shiluvchiga ajrataylikki, ularning ko‘paytmasi eng katta bo‘lsin.
Yechish. Birinchi qo‘shiluvchi x, ikkinchisi 12-x bo‘lsin.
Masala y=x(12- x) ning 0≤x≤12 kesmadagi eng katta qiymatini topishga keladi. y=12-2x bo‘yicha x=6 ni topamiz. Funksiyaning [0; 12] kesmaning uchlaridagi va x=6 dagi qiymatlarini topish, so‘ng ulardan eng kattasini aniqlash kerak:
f (0)=0, f (12)=0, f (6)=36.
Demak, 12 soni 6 va 6 dan iborat qo‘shiluvchilarga ajratilsa, ko‘paytma eng katta bo‘ladi.
2-misol . Kesimi to‘g‘ri to‘rtburchak shaklida bo‘lgan sterjanning bukilishga qarshiligi munosabat bo‘yicha hisoblanadi, bunda k–proporsionallik koeffitsiyenti. Kesim qanday bo‘lganda sterjen eng katta qarshilikka ega bo‘ladi?
Y echish . V.10-rasmdan
larni aniqlaymiz. tenglamaning ildizlari: va . Ulardan ildiz [0; d] kesmada joylashgan. funksiyaning x₁=0; ; x₃=d lardagi qiymatlarini topish va ulardan qiymati eng kattasini aniqlash kerak. x₁=0 va x= d da Q=0, da esa , bundan . Shunday qilib, kasimning bo‘yi va eni nisbatda olinishi kerak.
3-misol. x+z=C bo‘lsin, x, z–o‘zgaruvchi kattaliklar, C–doimiy son. x=z bo‘lsagina, x z ko‘paytma eng katta bo‘lishini isbot qilamiz.
Isbot. 1-misol natijalaridan foydalanamiz. y=x(C-x) yoki y=Cx-x² funksiyaning (-;+) intervaldagi eng katta qiymatini topishimiz kerak. Funksiya intervalning uchlarida - ga aylanadi.
Ekstremum baradigan nuqtalarini aniqlaymiz: y=C-2x=0, bundan Unda:

da funksiya maksimumkga erishadi. Bu ga to‘g‘ri keladi. Demak, funksiya x=z da eng katta qiymatga ega bo‘ladi.
4-misol. y=x⁴(27-x⁴) funksiyaning [-2; 2] dagi eng katta qiymatini topamiz.
Yechish. 3-misol xulosasidan foydalanamiz. Funksiya x ning ixtiyoriy qiymatida aniqlangan va juft ekanidan uni [0; 2] kesmada qarash kifiya. Topilgan natija (simmatriyaga ko‘ra) barcha [-2;2] kesmaga nisbatan umumlashtiriladi. Funksiya ifodasi x ning har qanday qiymatida musbat bo‘lgan x⁴ va 32-x⁴ ko‘paytuvchilar ko‘paytmasidan iborat, ularning yig‘indisi x⁴+(32-x⁴)=32–o‘zgarmas.
Demak, x=2 da funksiya x ning x⁴=32-x⁴ tenglikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida eng katta qiymatga erishadi. Eng katta qiymat y=2⁴ (32-2⁴)=256.
5-misol. Radiusi R bo‘lgan doira ichiga chizilgan to‘g‘ri to‘rtburchaklardan yuzi eng kattasini topamiz.
Yechish. Chizmadan t o‘rtburchak
Yuzi , bunda x va ko‘paytuvchilar musbat, demak, S>0. S va S²
funksiyalar o‘zlarining eng katta qiymatlarini bitta x nuqtada qabul qiladi. Bu nuqtani topamiz (V.11-rasm):

Buning ildizlari: 0, , . Lekin 0[0;2R], . Endi funksiyaning 0, , nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz. x=0 va x=2R da funksiya nolga aylanadi. S va S² funksiyalar eng katta qiymatni x= da qabul qiladi. Bu holda , ya’ni x=y bo‘lmoqda.
Demak, doira ichiga chiziladigan to‘g‘ri to‘rtburchaklardan yuzi eng kattasi kvadrat bo‘lar ekan.