Uzoq yillar davomida vujudga kelgan eski ta’lim tizimini tubdan qayta qurmasdan va isloh etmasdan turib bu maqsadga erishish mumkin emas

2.2-§. Lagranj teoremasi. Funksiyaning o‘sishi va kamayishi.
1. (Lagranj Jozef Lui, 1736–1813, fransuz matematigi va mexanigi). Biz oldingi bandlarda funksiyaning nuqtadagi holatini tekshirish bilan shug‘ullandik. Funksiyaning butun bir oraliqdagi holatini o‘rganishda bir qator teoremalarga tayaniladi. Ulardan biri Lagranj teoremasi bo‘lib, u ko‘rsatilgan oraliqda funksiya orttirmasi bilan hosilasi o‘rtasidagi bog‘lanishga bag‘ishlanadi. f (x) funksiya [a; b] kesmada uzluksiz bo‘lsin. l to‘g‘ri chiziq f funksiyaga uringan holda A nuqta tomon to‘xtovsiz burilib borsin (demak, funksiya uzluksiz hosilaga ega, V.14-rasm). U holda A va B nuqtalar orasida shunday C nuqta topiladiki, unda urinma AB vatarga parallel bo‘lib qoladi. Bu holda urinmaning f(c)=tg burchak koeffitsiyenti vatarning  burchak koeffitsiyentiga

teng bo‘ladi, bunda a<c<b. Bunday xossaga ega bo‘lgan C nuqtaning mavjudligini Lagranj teoremasi ta’kidlaydi:
1-teorema (Lagranj teoremasi). f (x) funksiya [a, b] kesmada uzluksiz va uning ichki nuqtalarida differensiallanuvchi bo‘lsin.U holda bu kesmada shunday x=c nuqta topiladiki, unda ushbu tenglik o‘rinli bo‘ladi
1-xulosa. Agar f (x) funksiya [a; b] kesmada uzluksiz,kesmaning ichida funksiya hosilasi nolga teng bo‘lsa, f (x) funksiya [a; b] kesmada o‘zgarmas funksiya bo‘ladi.
Isbot. Shart bo‘yicha f(c)=0. U holda ixtiyoriy x(a; b) uchun:

2-xulosa . [a; b] kesmada uzluksiz bo‘lgan f (x) va g(x) funksiyalar kesmaning ichida bir xil hosilaga ega bo‘lsa (ya’ni f(x)=g(x)), bu funksiyalar o‘zgarmas qo‘shiluvchi bilangina farq qiladi.
Isbot. Istalgan x(a; b) uchun

bo‘lsin. Shartga ko‘ra f (x)=g(x). Shunga ko‘ra

Demak, f-g=A yoki f=g+A.
2-teorema . Agar f (x) funksiya X oraliqda uzluksiz, hosilasi esa shu oraliqda musbat (yoki manfiy) bo‘lsa, funksiya oraliqning ichki nuqtalarida o‘sadi (mos ravishda kamayadi).
Isbot. x₁ va x₂ nuqtalar X oraliqdan olingan va x₁<x₂ bo‘lsin. Shartga ko‘ra oraliq ichida f>0, jumladan c(x₁; x₂) nuqtada f(c)>0. Lagranj teoremasiga muvifiq f(x₂)-f (x₁)=f(c)(x₂-x₁), bunda f(c) (x₂-x₁)>0. Bunga qaraganda f(x₂)>f(x₁), ya’ni X oraliqda f (x) funksiya o‘sadi.
X da f(x)<0 bo‘lgan hol ham shu kabi qaraladi.
Teoremaning kuchaytirilgan ko‘rinishi: Agar f funksiya X oraliqda uzluksiz, hosilasi nomanfiy (nomusbat) va faqat ichki nuqtalarning chekli to‘plamida nolga teng bo‘lsa, f funksiya shu oraliqda o‘sadi (kamayadi).
V.5-rasmda tasvirlanishicha [x₀; x₃] kesmaning ichki x₂ nuqtasidagina f nolga teng (unda funksiya grafigi bukiladi), qolgan nuqtalarda funksiyaning hosilasi musbat va funksiya o‘sadi.
3-teorema. Agar f funksiya x₀ nuqtada uzluksiz, hosilasi shu nuqtaning chap yaqinida musbat (mos ravishda manfiy), o‘ng yaqinida manfiy (musbat) bo‘lsa, f funksiya x₀ nuqtada maksimumga (minimumga) erishadi.
Isbot. x₀ dan chapda f¢>0 bo‘lsa, unda funksiya o‘sadi, x₀ dan o‘ngda f¢<0 bo‘lsa, bu tominda funksiya kamayadi. U holda funksiya x₀ nuqtaning o‘zida nuqtaning chap va o‘ng yaqinidagiga nisbatan kattaroq qiymatni qabul qiladi. Demak, x₀ nuqta –funksiya maksimum nuqtasining abssissasi.
Teoremaning funksiya minimumiga oid qismi ham shu kabi isbotlanadi.
2. Funksiya grafigining qavariqligi. Biz quyi sinflardanoq kvadrat funksiya grafigi (parabola) A<0 da qavariqligi bilan pastga, A>0 da qavariqligi bilan yuqoriga yo‘nalganligini bilamiz. A sonning ishorasi shu funksiyadan olingan y¢¢ hosilaning ishorasi bilan bir xil: . Bu ta’kid har qanday funksiya uchun o‘rinlidir (bunda botiqlik qavariqlikka nisbatan qarama-qarshi yo‘nalish deb qaralishi kerak).
1-teorema . Agar f (x) funksiya [a; b] kesmada uzluksiz,kesmaning ichida f(x)>0 (mos ravishda f¢¢(x)<0) bo‘lsa, f funksiya grafigi shu kesmada qavariqligi bilan pastga (mis ravishda yuqoriga) tomin yo‘nalgan bo‘ladi.
Isbot . (a; b) da f(x)>0 bo‘lgan holni qaraylik (V.16-a rasm). Ixtiyoriy c(a;b) nuqtani tanlab, M(c; f (c)) nuqtadan f grafigiga urinma o‘tkazamiz. Urinma to‘liq grafikning istiga joylanishini, ya’ni

bo‘lishini isbot qilishimiz kerak. x<c nuqtani olaylik (x>c holi ham shu tariqa qaraladi). [c;x] kesmaga nisbatan Lagranj teoremasini qo‘llaymiz , bunda
U holda

Shu kabi f(x) funksiya va [c; c₁] kesmaga nisbatan Lagranj teoremasi qo‘llanilsa: f¢(c₁)-f¢(c)= f¢¢(c₂)(c₁-c), bunda c<c₂<c₁. U holda (1) munosabat quyidagi ko‘rinishga keladi: