Va komunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi toshkent axborot texnalogiyalari universiteti

Tajriba natijalarini tartibli holatda ifodalash va ishlov berish jadvali

	3,8	4,4	4,9	5,5	6,9
i- intervaldagi	3,9	4,5	5,0	5,6	6,0
tasodifiy	4,0	4,6	5,1	5,7	6,1
kattaliklar	4,1	4,6	5,2	5,8	6,2
	4,2	4,7	5,3		6,3
		4,8
i- intervaldagi qayd etilgan kattaliklar soni chastotasi, mi	5	6	5	4	5	n = 25
Interval (oraliq)	3,8-4,3	4,3-4,8	4,8-5,3	5,3-5,8	5,8-6,3
Tasodifiy kattaliklarning i-intervaldagi qaytarilishining nisbiy chastotasi	^5 0,2 25	^6 0,24 25	^5 0,2 25	^4 0,16 25	^5 0,2 25	1,0
  ^m^i i n
 x	20,3	28,4	25,5	22,6	30,5
 x2	412,09	816,5	650,2	510,7	930,2

Bu yerda: n – variatsion qatordagi tasodifiy kattaliklar soni (n=25);
m_i – berilgan intervaldagi tasodifiy kattaliklar soni.

4.10-rasm. Chastotalar poligoni (taqsimlanishning empirik grafigi).

Intervallar soni k ni quyidagi formula bo‘yicha qabul qilish ham mumkin:
k  4 log n _{. (4.13)}
Kuzatuv yoki eksperiment natijalari asosida qurilgan tasodifiy kattaliklarni empirik taqsimlanishini biron bir ma’lum nazariy taqsimlashga keltiriladi yoki appraksimatsiyalanadi (yaqinlashtiriladi). Boshqacha aytganda o‘rga- nilayotgan ko‘rsatkichlarni o‘zgarish qonuniyatini ifodalash uchun tasodifiy kattaliklar asosida tuzilgan empirik taqsimlanishni unga yaqin bo‘lgan nazariy taqsimlanishga almashtiriladi.
Tasodifiy kattaliklarni empirik taqsimlanish jadval yoki grafik ko‘rinishda tasvirlanadi va bu orqali o‘rganilayotgan voqeliklarni o‘zgarishi (jarayon parametrlari, kattaliklari) haqida kengroq ma’lumotga ega bo‘lamiz.
Shu bilan birga tasodifiy kattaliklarni taqsimlanishini miqdoriy son xarakteristikasini (ko‘rsatkichlarini) bilish zarur bo‘ladi.
Matematik statistikada tasodifiy kattaliklarni sochilish va sochilish mar- kazini holat xarakteristikalari orqali miqdori (soni) ifodalanadi.
Sochilish markazi tasodifiy kattaliklarni eng ko‘p sodir bo‘lishi qayd etilgan intervalga to‘g‘ri keladi. 4.9-jadvalda keltirilgan misolda sochilish markazi 4,4–4,8 oralig‘idagi intervalga to‘g‘ri keladi, boshqacha aytganda, atrofida tasodifiy kattaliklar tig‘iz joylashgan intervaldagi tasodifiy kattalik- larning o‘rtacha qiymati.
Tasodifiy kattaliklarni sochilish markazidan u yoki bu darajada og‘ishini miqdoriy ko‘rsatkichi sochilish xarakteristikasi hisoblanadi.
Tasodifiy kattaliklarni sochilish va sochilish markazi holat xarakteris- tikalari tasodifiy kattaliklarni statistikasi yoki statistik o‘lchamlari deyiladi. Sochilish markazi holat xarakteristikasi quyidagi miqdoriy (son) ko‘rsat-
kichlar bilan baholanadi:
^{o‘rtacha arifmetik qiymat – (} x ^); mediana yoki o‘rtacha qiymat – (x); moda – M₀.
Tasodifiy kattaliklarning miqdoriy xarakteristikalaridan yana bittasi bu matematik kutilgan natija bo‘lib uni ko‘p hollarda taqsimlanish markazi deb ataladi. Tasodifiy kattalik (voqelik) X, p₁,p₂, p₃, ..., p_n ehtimolliklar bilan faqat x₁,x₂, x₃, ..., x_n qiymatlardagi qiymatlarga ega bo‘lganda diskret
^{tasodifiy kattalikni matematik kutilgan natijasi} M ^ X ^ , p₁, p₂ , p₃ , ..., p_n

n

ehtimolliklarga ega x₁,x₂, x₃, ..., x_n qiymatli kattaliklarni ko‘paytmalari yig‘indisi bilan aniqlanadi.

M ^ X ^  x₁  p₁  x₂  p₂  x₃  p₃  ....  x_n  p_n  _ x_i  p_{i . (4.14)}
i 1
Tajriba yoki kuzatuvni n marotaba takrorlash natijasida tasodifiy kattalik X m₁ marotaba x₁ qiymatni, m₂ marotaba x₂ qiymatni, m_k marotaba x_k qiymatni qabul qiladi, deb olamiz. Bu yerda . Barcha kattaliklarni o‘rtacha arifmetik qiymati quyidagicha topiladi.

_{x } x₁ m₁  x₂ m₂ ... x_k m_k
n
 x₁
 ^m1  x
n ²
 ^m2  ...  x
_n k
^{ mk} . (4.15)
n

Formuladagi ^mi
n
 _i  x_i
tasodifiy kattalikning chastotasi. Tajriba yoki

kuzatuvlar soni cheksiz katta bo‘lganda chastota _i taqriban uning ehtimolligi
P_i ga teng deb olinadi.
Bunday holda, matematik kutilish – M(X) taqriban, tasodifiy kattalik-
ning kuzatilayotgan miqdorini o‘rtacha arifmetik qiymatiga teng deb qabul qilinadi.
Uzluksiz tasodifiy kattalik X ning qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlari bo‘yicha ma’lumotlarga ega cheksiz kichik interval (oraliq) dx ga tushish ehtimolligi ehtimollikning elementiga teng: [f (x)d(x)]. Bundan kelib chiqqan holda taqsimlashish zichligi f (x) bo‘lgan uzluksiz tasodifiy kattalikni mate- matik kutilishi quyidagi formula bilan hisoblanadi:

M ^ X ^ 


_ xf ^ x ^  dx . (4.16)



Matematik kutilish ko‘p hollarda tasodifiy kattaliklarning taqsimlanish markazi deb yuritiladi.
4.7-jadvalda keltirilgan variatsion qator uchun variatsion qatorning
o‘rtacha arifmetik qiymati quyidagicha ifodalanadi:

_n 
₁ i
^{x  x}_i , (5.17)
n1

x  ¹ (5, 0  4,3  6,0  4,3  4,6  5,2  5,3  5,5  5,6 
25
5,7  4,5  4,6  4,7  4,8  5,1  4, 4  4, 0  4,9 
5,8  5,9  3,8  3,9  6,1  6,2  6,3)  5,06 yil
Variatsion qatorni tashkil etuvchi tasodifiy kattaliklar soni katta miqdorda bo‘lsa, hisoblash aniqligini ma’lum darajada pasayishini oldindan bilgan ^{holda arifmetik o‘rtacha qiymatni (} x ^{) variatsion qatorni intervallarga bir} necha bo‘laklarga bo‘linib hisoblanadi:

_n 
₁ К
^{x  u}_i ^m_i , (4.18)
i 1
bu yerda: u_i – i- intervaldagi tasodifiy kattaliklarning o‘rtacha qiymati; m_i – i- intervaldagi tasodifiy kattaliklar soni (o‘lchovlar chastotasi); k – intervallar soni.
Variatsion qatorining muhim miqdoriy ko‘rsatkichlardan biri uning modasi (M) bo‘lib, u variatsion qatorda eng ko‘p uchraydigan tasodifiy kattaliklar qayd etilgan intervaldagi kattaliklarni o‘rtacha qiymatidir.
4.9-jadvalda keltirilgan variatsion qatorda tasodifiy kattaliklar eng ko‘p qayd etilgan interval 4,3–4,8 yil oralig‘ida bo‘lib, intervalning o‘rtasi 4,5 ga to‘g‘ri keladi: M=4,5 yil. Chastotalar poligonida esa (4.9-rasm) empirik grafikdagi  ning eng katta qiymati joylashgan nuqta bilan belgilanadi, ya’ni grafikda ham M=4,5 y.
Tasodifiy kattaliklarning sochilish markaziga nisbatan taqsimlanishi ^{simmetrik joylashgan bo‘lsa, variatsion qator o‘rtacha arifmetik qiymati} x va modasi M ga teng bo‘ladi.



4.11-rasm. Tasodifiy kattaliklarning taqsimlanish zichligi grafigi.
Tasodifiy kattaliklarni miqdoriy xarakteristikalaridan biri mediana bo‘lib, taqsimlanish grafigi hosil qilgan maydon yuzasini teng ikkiga bo‘luvchi tasodifiy kattalikning qiymatidir.
Tasodifiy kattaliklarning empirik taqsimlanishi xarakteristikasi uchun o‘rtacha kvadratik va modasini topishning o‘zi yetarli emas, chunki ikkita o‘rtacha kvadratik va modalari bir-biriga teng yoki qariyb teng bo‘lgan taqsimlanish poligonlari ikki xil shaklni ifodalashi mumkin. Shuning uchun, ulardagi tasodifiy kattaliklarni sochilishidagi farqlarni hisobga olishda sochilish xarakteristikasidan foydalaniladi.
Tasodifiy kattaliklarning sochilishini yoki sochilish markazidan har xil masofada joylashishini quyidagi ko‘rsatkichlar yordamida aniqlaymiz: tasodifiy kattaliklarning sochilish kengligi (oralig‘i) R; o‘rtacha kvadratik og‘ish yoki standart – ; dispersiya – ^; variatsiya koeffitsiyenti - .
Qiymatning sochilish kengligi (R) bu tasodifiy kattaliklar eng katta va eng kichik qiymatlarining farqi bo‘lib, quyidagicha aniqlanadi:
R  x_max  x_min . (4.19) 4.7-jadvalda keltirilgan variatsion qator uchun R=6,3y–3,8y=2,5yil.
O‘rtacha kvadrat og‘ish () (dispersiya) tasodifiy kattaliklarining sochilish
ko‘rsatkichlari:

^{ } . (4.20)

4.7-jadvalda keltirilgan variatsion qatorning o‘rtacha kvadratik og‘ishi:

 



_{2 2 1} n ₂

Dispersiya 
(sochilish):   _(x_i  x ) .

n
i 1

^{4.7-jadval bo‘yicha:} ² 
¹ (3,8  5, 06)²  ...  (6,3  5, 06)²  0,546 ^.
25

Variatsiya koeffitsiyenti  solishtirma dispersiya koeffitsiyenti deb ham yuritiladi va quyidagi formula yordamida hisoblanadi:
^{    100%} .
x
4.7-jadvalda keltirilgan variatsion qator uchun ^{  0,7389  0,122} .
5,06