Va komunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi toshkent axborot texnalogiyalari universiteti

Tasodifiy kattaliklarning taqsimlanish qonunlari

Tajribalar yoki kuzatuvlar natijalariga statistik yondashuvda tasodifiy kattaliklarni realizatsiya qilish, ya’ni to‘plash vaqtidagi qiymatlari belgilash (olish) cheklangan. Odatda bir necha o‘n marotaba o‘lchovlar yoki kuzatuvlar bilan chegaralanadi. Masalan yuqoridagi parrandachilik fabrikasidagi A4 seriyali asinxron motorning buzilmasdan ishlash vaqtini o‘rganishda tasodifiy kattaliklarni realizatsiya soni 25 ta, ya’ni 25 ta elektr motorni kuzatish bo‘yicha olingan, ya’ni ularni sonini 50 yoki 100 taga yetkazish real sha- roitda amalga oshirib bo‘lmaydi.
Tasodifiy kattaliklarning elektrik taqsimlanish chastotasi ularning xarakteristikalari kabi ma’lum darajada va ularning qiymatlari variatsion qator hajmining oshishiga bog‘liq holda barqaror ko‘rsatkichiga yaqinlashib boradi. 4.7-jadvaldagi variatsion qator uchun kuzatuvlar soni n=25 dan kam bo‘lgan hol uchun o‘rtacha arifmetik ko‘rsatkich x quyidagi qiymatlarga ega bo‘ladi.
4.10-jadval

Variatsion qator hajmi, n	4	5	5	5	6
O‘rtacha arifmetik ko‘rsatkich, x	5,650	4,060	5,100	6,180	4,600

Xuddi shunday nabarqarorlik kuzatuvlar soni 5, 15, 25 taga teng bo‘lganda tasodifiy kattaliklar chastotasi quyidagi qiymatlarga ega bo‘ladi.

4.11-jadval

Interval, yil			3,8–4,3		4,3–4,8		5,3–5,8	5,8–6,3	4,8–5,3
Takrorlanish chastotasi ω	n=5	0,400		0,200		0,000		0,200	0,200
	n=15	0,134		0,334		0,267		0,067	0,200
	n=25	0,200		0,240		0,200		0,200	0,160

Tajriba natijalari va kuzatuvlar sonini oshib borishi variatsion qatorning xarakteristikalari ko‘rsatkichlarini (o‘rtacha, dispersiya va h.k.lar) hamda nisbiy chastotasi empirik taqsimlanishini birdan bir doimiy kattalikka yaqinlashishiga olib keladi va n holda tasodifiy kattaliklarning taq- simlanish qonunini ifodalaydi.
Tasodifiy kattaliklarni nazariy taqsimlashish qonuniga katta yoki kam darajada eksperiment taqsimlanish qonunining yaqinlashuvi tasodifiy kattaliklarni mumkin bo‘lgan qiymatlarini va ularga to‘g‘ri keluvchi ehti- molliklari orasidagi bog‘liqlikni ifodalovchi matematik modeli hisoblanadi.
Tasodifiy voqelik yoki kattaliklarning ehtimolligi deganda variatsion qatorning hajmi n cheksiz oshib borganida empirik taqsimlanishni nisbiy chastotasi yaqinlashgan (intilgan) doimiy kattalik tushiniladi.
Amalda esa kuzatishlar soni katta bo‘lganda tasodifiy voqelik yoki hodisaning ehtimolligi son qiymati etib tasodifiy voqelik yoki hodisaning nisbiy chastotasi qabul qilinadi:

n
^{p(A)  m} , (4.21)
bu yerda: n – variatsion qatordagi tasodifiy kattaliklar soni (variatsion qatorning hajmi); m – variatsion qatordagi tasodifiy kattaliklarning qiymatli natijalari.
Nazariy taqsimlanish uchun guruhlashuv markazi bu kutilayotgan mate- matik natija, boshqacha aytganda variatsion qator hajmi n cheksiz oshganda (n) o‘rtacha arifmetik ko‘rsatkichi ( x ) yaqinlashgan tasodifiy kattalik- ning qiymati ( x M). Ilmiy tadqiqotlarda statistik usullar odatda o‘rga- nilayotgan ko‘rsatkichlarni kuzatuv natijalarini empirik taqsimlashishini ifodalashga olib keladi. Tajriba va kuzatuvlardan olingan taqsimlanishni na- zariy taqsimlanish qonuni bilan appraksimatsiyalash (yaqinlashtirish) kerak. Bunday appraksimatsiyalash tadqiqot natijalarini ifodalash va tahlil etish imkonini beradi. Boshqacha aytganda olingan empirik taqsimlanish uchun yig‘ilgan statistik materiallarni muhim xususiyatlarinigina aks ettiruvchi
nazariy taqsimlanish grafigini qabul qilish kerak.
Ko‘pgina empirik taqsimlanishlar Gauss-Laplas qonuni nomi bilan nomlanib kelinayotgan ko‘p tarqalgan normal taqsimlanish hisoblanuvchi nazariy taqsimlanishlarga bo‘ysunadi.
Ko‘plab bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan yoki qisman bog‘liq bo‘lgan sa- bablarni umumiy ta’siri natijasida sodir bo‘lgan tasodifiy kattaliklar normal taqsimlanishga bo‘ysunadi.
Tasodifiy kattaliklarni normal taqsimlanish qonuniyati shakllanishining asosiy sharti olinayotgan natijalarga barcha tasodifiy sabablar bir xilda ta’sir ko‘rsatishi va ular orasida alohida ustunlikka ega sabablar bo‘lmasligidir.
Normal taqsimlanish qonuni quyidagi funksiya bilan ifodalanadi:


^{x }^{2
f  x   1  e 2}2 , (4.22)
bu yerda:  – o‘rtacha kvadratik og‘ish;  – kutilgan matematik natija.
To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi obsissa o‘qi bo‘ylab tasodifiy kattalik qiymatini (x), ordinata o‘qi bo‘ylab esa unga to‘g‘ri keladigan qiymatni qo‘ysak, qo‘ng‘iroq shaklini tasvirlovchi grafikni beradi va bunday egri chiziq Gauss egri chizig‘i deb yuritiladi.