Vi bob matematik nazariyalar

1- lemma. nazariyaning har qanday , va termlari uchun quyidagi formulalar da teorema bo‘ladi.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
2- lemma. Har qanday , va termlar uchun quyidagi formulalar nazariyada teorema bo‘ladi:
a) ;
b) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ;
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) ;
m) ;
n) ;
o) ;
p) .
6.9.2. Gyodelning to‘liqsizlik haqidagi teoremasi. Gyodelning to‘liqsizlik haqidagi teoremasi deganda Gyodelning quyida ifodalangan ikkita teoremasiga qo‘yilgan umumiy nom tushuniladi.
Gyodelning birinchi teoremasi (to‘liqsizlik haqida). Minimum arifmetikani qamrab olgan har qanday qarama-qarshilikka ega bo‘lmagan formal sistemada va, demak, natural sonlar nazariyasida formal yechilmovchi fikr topiladi, ya’ni shunday yopiq formula topiladiki, na , na ni sistemada keltirib chiqarish mumkin emas.
G yodelning birinchi teoremasi quyidagini bildiradi: arifmetikada qanday aksiomalar tizimi tanlashimizdan qat’iy nazar, formal nazariya tilida ifodalangan natural sonlar haqida shunday mulohaza topiladiki, uni berilgan nazariyada na isbot qilib bo‘ladi va na rad etib bo‘ladi.
Gyodelning ikkinchi teoremasi (to‘liqsizlik haqida). Tabiiy qo‘shimcha shartlar bajarilganda o‘rnida ko‘rilayotgan sistemaning qarama-qarshilikka ega emasligi haqidagi tasdiqni olish mumkin.


Muammoli masala va topshiriqlar

1. 
   Agar berilgan va interpretasiyalarning izomorfizmi bo‘lsa, u holda nazariyaning formulasi va soha elementlari ketma-ketligi ning qanday bo‘lishidan qat’iy nazar, formula mos ketma-ketlikda bajariluvchi bo‘lganda va faqat shundagina da bajariluvchi bo‘lishini formuladagi kvantorlar va mantiqiy bog‘lovchilar soniga qarab induksiya metodi bilan isbotlang.
   
2. 
   Agar va interpretasiyalar izomorf bo‘lsa, u holda ularning sohalari bir xil quvvatga ega bo‘lishini isbotlang.
   
3. 
   Evklid geometriyasining qat’iy matematik nazariyaga misol bo‘la olishini ko‘rsating.
   
4. 
   Har qanday absolyut to‘liq nazariya tor ma’noda ham to‘liq bo‘lishini isbotlang.
   
5. 
   Predikatlar hisobining formulasi uchun formula mulohazalar hisobining formulasi bo‘lishini ko‘rsating.