Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

π
2
)+
³
I
0
g(x +
π
2
) + Ig
0
(x +
π
2
)
´
y(x+
π
2
)+
+I(x)g(x+
π
2
)y
0
(x+
π
2
) = {f
00
(x) + f (x)g(x+
π
2
)+I
0
(x)g(x+
π
2
)+I
0
(x)g(x+
π
2
)+
+I(x)g
0
(x +
π
2
)
o
y(x +
π
2
) +
n
2f
0
(x) + I
00
(x) + I(x)g(x +
π
2
)
o
y
0
(x +
π
2
);
f
00
(x) = −
I
000
2
+ I
02
+ II
00
; −2I
0
(x)f (x) = +2λI
0
+ I
02
− I
0
I
2
;
2I
0
(x)g(x +
π
2
) = −2I
02
+
I
0
(x)I
2
(x)
2
+
2II
0
I
00
− I
03
+ 4a
2
I
0
2I
2
− 2λI
0
;
Ig
0
(x +
π
2
) = −II
00
+
I
0
I
2
2
+ I
½
I
00
2I
−
I
02
4I
2
+
a
2
I
2
¾
0
;
−
I
000
2
+
I
0
I
00
I
−
I
03
2I
2
+
2a
2
I
0
I
2
+ I ·
½
II
000
− I
0
I
00
2I
2
−
2I
0
I
00
I
2
− 2II
03
4I
4
−
2a
2
I
0
I
3
¾
=
= −
I
000
2
+
I
0
I
00
I
−
I
03
2I
2
+
2a
2
I
0
I
2
+
I
000
2
−
I
0
I
00
2I
−
I
0
I
00
2I
+
I
03
2I
2
−
2a
2
I
0
I
2
= 0;
y
00
2
= g(x)y
2
(x) = g(x)
n
f (x)y(x +
π
2
) + I(x)y
0
(x +
π
2
)
o
=
= f (x)g(x)y(x +
π
2
) + I(x)g(x)y
0
(x +
π
2
).
Faraz qilaylik, λ- xos qiymat, y(x)- yarimdavriy yechim bo‘lsin va koor-
dinatalar sistemasini almashtirish orqali bu yechimni, y(0) = −y(π) = 1,
y
0
(0) = −y
0
(π) = 0 shartni qanoatlantiradigan qilib olish mumkin. U holda
y
2
(x) = T y(x) ham yarimdavriy yechim bo‘ladi. Agar ular chiziqli erkli bo‘lsa,
u holda barcha xos qiymatlar ikki karrali bo‘ladi. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni
shunday k 6= 0 o‘zgarmas son mavjud bo‘lib, ushbu
y(x) = k · y
2
(x) = k
h
f (x)y(x +
π
2
) + I(x)y
0
(x +
π
2
)
i
,
(1.7.15)
tenglik o‘rinli bo‘lsin. U holda
y
0
(x) = k ·
h
f
0
(x)y(x +
π
2
) + f (x)y
0
(x +
π
2
) + I
0
(x)y
0
(x +
π
2
)+
+I(x)y
0
(x +
π
2
)
i
= k ·
h
f
0
(x)y(x +
π
2
) + (f (x) + I
0
(x))y
0
(x +
π
2
)+
94

+I
0
(x) ·
·
−I
0
+
I
2
4
+
2II
00
− I
02
+ 4a
2
4I
2
− λ
¸
y(x +
π
2
)
¸
(1.7.16)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. (1.7.15) tenglikdan
x = 0 da 1 = k ·
h
f (0)y(
π
2
) + I(0)y
0
(
π
2
)
i
,
(1.7.17)
x =
π
2
da y(
π
2
) = −k f (
π
2
)
(1.7.18)
tenglik kelib chiqadi. Shuningdek, (1.7.16) tenglikdan x =
π
2
da
y
0
(
π
2
) = k ·
£
f
0
(
π
2
)y(π) + f (
π
2
)y
0
(π) + I
0
(
π
2
)y
0
(π)+ I(
π
2
)y
00
(π)
¤
=
= k ·
©
−f
0
(
π
2
) + I
0
(0) · [q
e
(0) + I
0
(0) − λ]
ª
=
= −k
©
f
0
(
π
2
) − I(0){q
e
(0) + I
0
(0) − λ}
ª
(1.7.19)
tenglik kelib chiqadi. (1.7.18) va (1.7.19) tengliklarni (1.7.17) tenglikka qo‘yib,
so‘ngra (1.7.11) va (1.7.13) tengliklardan foydalanib,
1 = −k
2
·
£
f (0)f (
π
2
) + I(0)f
0
(
π
2
) − I
2
(0)(q
e
(0) + I
0
(0) − λ)
¤
=
= −k
2
(λ
2
− a
2
)
(1.7.20)
bo‘lishini topamiz. |λ| ≥ a da (1.7.20) tenglik bajarilmaydi, demak y
1
(x) va
y
2
(x) funksiyalar (−∞; −a) ∪ (a; ∞) oraliqda chiziqli erkli, ya’ni bu oraliqdagi
barcha xos qiymatlar ikki karrali bo‘ladi. Endi λ
1
va λ
2
oddiy xos qiymatlar
[−a; a] kesmada bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun, [−a; a] kesmada (1.4.1)
tenglama uchun qo‘yilgan davriy chegaraviy masalaning birorta ham xos qiymati
yo‘qligini ko‘rsatishimiz kerak. Faraz qilaylik, λ- xos qiymatga mos y(x)- davriy
yechim bo‘lsin. Koordinatalar sistemasini almashtirish orqali bu yechimni
y(0) = y(π) = 1 , y
0
(0) = y
0
(π) = 0
(1.7.21)
shartni qanoatlantiradigan qilib tanlab olamiz. Agar λ- oddiy xos qiymat bo‘lsa,
u holda y
1
(x) va y
2
(x) yechimlar chiziqli bog‘liq bo‘ladi. U holda yuqoridagi kabi
fikr yuritib,
1 = k
2
(λ
2
− a
2
)
(1.7.22)
bo‘lishini topamiz. |λ| ≤ a da (1.7.15) tenglik bajarilmaydi. Demak, davriy
masalaning birorta ham oddiy xos qiymati [−a, a] kesmada joylashmagan. En-
di, bu kesmada davriy masalaning birorta ham karrali xos qiymati yo‘qligini
ko‘rsatamiz. Quyidagi
T
2
y = T (T y) = (λ
2
− a
2
)y(x + π)
(1.7.23)
tenglik o‘rinli. Haqiqatan ham,
T
2
y = T (T y) = T (f (x)y(x +
π
2
) + I(x)y
0
(x +
π
2
)) =
95

= f (x)
n
f (x +
π
2
)y(x + π) + I(x +
π
2
)y
0
(x +
π
2
)
o
+
+I(x)
n
f
0
(x +
π
2
)y(x + π) + f (x +
π
2
)y
0
(x + π)+
+I
0
(x +
π
2
)y
0
(x + π) + I(x +
π
2
)y
00
(x + π)
o
= (λ
2
− a
2
)y(x + π) .
Endi, ϕ(x) = T y(x) deb belgilasak, u holda (1.7.13) va (1.7.23) dan
ϕ(x) = f (x)y(x +
π
2
) + I(x)y
0
(x +
π
2
)
(1.7.24)
va
(λ
2
− a
2
)y(x + π) = f (x)ϕ(x +
π
2
) + I(x)ϕ
0
(x +
π
2
)
(1.7.25)
kelib chiqadi. (1.7.4) va (1.7.24) tengliklarni mos ravishda ϕ(x +
π
2
) va y(x +
π
2
)
larga ko‘paytirib, bir-biridan ayirsak,
ϕ(x)ϕ(x +
π
2
) − (λ
2
− a
2
)y(x + π)y(x +
π
2
) = −I(x) ω
(1.7.26)
tenglik kelib chiqadi. Bu yerda
ω(x) = y(x +
π
2
)ϕ
0
(x +
π
2
) − y
0
(x +
π
2
)ϕ(x +
π
2
).
y(x) va ϕ(x) funksiyalarning Vronskiani o‘zgarmas bo‘lishi kerak. Biroq, agar λ-
davriy masalaning xos qiymati bo‘lsa, unga mos xos funksiya π davrli bo‘lishi
kerak. U holda (1.7.25) tenglik
ϕ(x)ϕ(x +
π
2
) − (λ
2
− a
2
)y(x)y(x +
π
2
) = −I(x) ω
(1.7.27)
ko‘rinishga keladi. (1.7.26) tenglikda x → x +
π
2
desak
ϕ(x)ϕ(x +
π
2
) − (λ
2
− a
2
)y(x)y(x +
π
2
) = −I(x +
π
2
) ω = I(x)ω
(1.7.28)
tenglikga ega bo‘lamiz. (1.7.26) va (1.7.27) tengliklarni solishtirib, ∀λ larda ω = 0
bo‘lishini topamiz va bundan y(x) va ϕ(x) = T y(x) funksiyalar chiziqli bog‘liq
ekanligi kelib chiqadi. U holda T y = ky, T
2
y = k
2
y ekanligidan va (1.7.23)
ga ko‘ra λ
2
≥ a
2
bo‘lishini topamiz. Shuning uchun davriy chegaraviy masalan-
ing xos qiymatlari (−a, a) dan tashqarida yotadi. Demak, davriy chegaraviy
masalaning birorta ham xos qiymati (−a, a) da yo‘qligidan, yarimdavriy chegar-
aviy masalaning faqat λ
1
vaλ
2
oddiy xos qiymatlari yotishi kelib chiqadi.
Yuqoridagi teoremalardan foydalanib quyidagi misollarni yechamiz.
Misol 1. Ushbu
y
0
(x) = exp



x
Z
0
I(t)dt



96

funksiya (1.6.19) tenglama uchun qo‘yilgan davriy chegaraviy masalaning λ = λ
0
xos qiymatiga mos keluvchi xos funksiyasi bo‘lishini tekshiring.
Yechilishi. Berilgan funksiyadan ikki marta hosila olib, (1.6.19) tenglamani
va davriy chegaraviy shartlarni qanoatlantirishini tekshiramiz:
y
0
0
(x) = I(x) exp



x
Z
0
I(t)dt



, y
00
0
(x) =
¡
I
0
(x) + I
2
(x)
¢
exp



x
Z
0
I(t)dt



.
λ = λ
0
ekanligini hisobga olib, yuqoridagi hosilalarni (1.6.19) tenglamaga qo‘ysak,
y
00
+ [λ − λ
0
− I
0
(x) − I
2
(x)]y(x) = y
00
+
¡
−I
0
(x) − I
2
(x)
¢
y(x) =
¡
I
0
(x) + I
2
(x)
¢
exp
½
x
R
0
I(t)dt
¾
+
¡
−I
0
(x) − I
2
(x)
¢
exp
½
x
R
0
I(t)dt
¾
= 0
tenglik hosil bo‘ladi. Endi y
0
(x) = exp
½
x
R
0
I(t)dt
¾
funksiya davriy chegaraviy
shartlarni, ya’ni
y
0
(0) = y
0
(π), y
0
(0) = y
0
(π)
qanoatlantirishini ko‘rsatamiz. Buning uchun I(x +
π
2
) = −I(x) ayniyatdan foy-
dalanib, quyidagi integralni hisoblaymiz:
π
Z
0
I(x)dx =
π
2
Z
0
I(x)dx +
π
Z
π
2
I(x)dx =
π
2
Z
0
I(x)dx +
π
2
Z
0
I(t +
π
2
)dt =
=
π
2
Z
0
I(x)dx −
π
2
Z
0
I(x)dx = 0.
Nihoyat, quyidagi
y
0
(0) = exp



0
Z
0
I(t)dt



= 1, y
0
(π) = exp



π
Z
0
I(t)dt



= 1,
y
0
0
(0) = I(0) exp



0
Z
0
I(t)dt



= I(0), y
0
0
(π) = I(π) exp



π
Z
0
I(t)dt



= I(π),
I(π) = I(0)
tengliklarga asosan, davriy chegaraviy shartlarning bajarilishi o‘z-o‘zidan ko‘rinib
turibdi. Shunday qilib, berilgan funksiya (1.6.19) tenglamani ham, davriy chegar-
aviy shartlarni ham qanoatlantirar ekan. Demak berilgan funksiya xos funksiya
bo‘ladi.
97

Misol 2. Agar (1.4.1) tenglamaning q(x) kˆıeffitsiyenti uchun, ushbu
q(x) = c + I
0
(x) + I
2
(x)
tasvir o‘rinli bo‘lsa, u holda (1.4.1) tenglama uchun qo‘yilgan davriy chegaraviy
masalaning (y(0) = y(π), y
0
(0) = y
0
(π)) barcha λ > c xos qiymatlari ikki karrali
bo‘ladi, degan fikr to‘g‘rimi? Bu yerda I(x)-ushbu I(x +
π
2
) = −I(x) shartni
qanoatlantiruvchi uzluksiz, differentsiallanuvchi funksiya.
Yechilishi. Koeffitsiyenti q(x) = c+I
0
(x)+I
2
(x) bo‘lgan (1.4.1) tenglaman-
ing yechimini y(x) = exp
½
x
R
0
I(t)dt
¾
ko‘rinishda izlaymiz. Misol 1 dan ma’lumki,
bu funksiya davriy chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Bu funksiyadan ikki
marta hosila olamiz:
y
0
0
(x) = I(x) exp



x
Z
0
I(t)dt



, y
00
0
(x) =
¡
I
0
(x) + I
2
(x)
¢
exp



x
Z
0
I(t)dt



.
Bu hosilalarni ushbu y
00
+ [λ − − I
0
(x) − I
2
(x)]y(x) = 0 tenglamaga qo‘ysak,
quyidagi
y
00
+ [λ − − I
0
(x) − I
2
(x)]y(x) =
¡
I
0
(x) + I
2
(x)
¢
exp
½
x
R
0
I(t)dt
¾
+
¡
λ − − I
0
(x) − I
2
(x)
¢
exp
½
x
R
0
I(t)dt
¾
= (λ − ) exp
½
x
R
0
I(t)dt
¾
= 0
tenglik hosil bo‘ladi. Bundan esa λ = bo‘lishi kelib chiqadi. Teoremaga ko‘ra
= λ
0
bo‘ladi.
Misol 3. Potentsiali q(x) = 8 + 8 cos 2x − 8 cos 4x bo‘lgan Xill tenglamasi
uchun qo‘yilgan (y(0) = y(π), y
0
(0) = y
0
(π)) davriy masalaning eng kichik xos
qiymati nolga tengligini ko‘rsating.
Yechilishi. q(x) funksiya uchun yozilgan Furye qatoriga ko‘ra a
0
= 8, a
1
=
8, b
1
= 0, a
2
= −8, b
2
= 0 bo‘ladi. (1.6.4) tenglikka asosan, I(x) = 4 sin 2x
bo‘ladi. Endi (1.6.7) tenglikdan λ
0
ni hisoblaymiz:
λ
0
= a
0
−
1
π
π
R
0
I
2
(x)dx = 8 −
1
π
π
R
0
(4 sin 2x)
2
dx = 8 −
16
π
π
R
0
sin
2
2xdx =
= 8 −
16
π
π
R
0
1−cos 4x
2
dx = 8 −
16
π
¡
1
2
x −
1
8
sin 4x
¢
|
π
0
= 8 −
16π
2π
= 0 .
Demak, λ
0
= 0.
Misol 4. Potensiali q(x) = 8 + 8 cos 2x − 8 cos 4x bo‘lgan Xill tenglamasi
uchun qo‘yilgan (y(0) = y(π), y
0
(0) = y
0
(π)) davriy chegaraviy masalaning eng
kichik xos qiymatiga y
0
(x) = e
2−2 cos 2x
xos funksiya mos kelishini tekshiring.
98

Yechilishi. y
0
(x) = e
2−2 cos 2x
funksiya λ
0
= 0 eng kichik xos qiymatga mos
keluvchi xos funksiya bo‘lishi uchun, potensiali q(x) = 8 + 8 cos 2x − 8 cos 4x
bo‘lgan (1.4.1) tenglamani va davriy chegaraviy shartlarni qanoatlantirishini tek-
shiramiz. Buning uchun bu funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini
hisoblaymiz:
y
0
0
(x) = 4 sin 2xe
2−2 cos 2x
, y
00
0
(x) =
¡
8 cos 2x + 16 sin
2
2x
¢
e
2−2 cos 2x
.
Bu hosilalarni ushbu
−y
00
+ (8 + 8 cos 2x − 8 cos 4x) y = λ
0
y, λ
0
= 0
tenglamaga qo‘ysak,
−
¡
8 cos 2