Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

δ
n
2
−
2 sin
δ
n
2
4n
π
Z
0
q(t)dt +
1
64n
2


π
Z
0
q(t)dt


2
−
−
1
64n
2


π
Z
0
q(t) cos 4ntdt


2
−
1
64n
2


π
Z
0
q(t) sin 4ntdt


2
= O
µ
1
n
3
¶
.
144

Bu yerda q(x) funksiyaning
a
n
=
2
π
π
Z
0
q(t) cos 2nxdx, b
n
=
2
π
π
Z
0
q(t) sin 2nxdx
Furye koeffitsientlaridan foydalansak, yuqoridagi tenglik quyidagi ko‘rinishni ola-
di:
sin
2
δ
n
2
−
¡
sin
δ
n
2
¢
a
0
π
8n
+
π
2
a
2
0
256n
2
−
π
2
256n
2
£
a
2
2n
+ b
2
2n
¤
= O
µ
1
n
2
¶
.
Bu tenglikning chap tarafidan to‘la kvadrat ajratib, ushbu
π
Z
0
f (z)
z
Z
0
f (s)dsdz =
1
2


π
Z
0
f (z)dz


2
,
(1 + x)
α
= 1 + αx + O(x
2
)
tengliklardan foydalanib,
·
sin
δ
n
2
−
a
0
π
16n
¸
2
=
π
2
256n
2
£
a
2
2n
+ b
2
2n
¤
+ O
µ
1
n
2
¶
,
sin
δ
±
n
2
=
a
0
π
16n
±
π
16n
q
a
2
2n
+ b
2
2n
+ O
µ
1
n
2
¶
,
δ
±
n
=
1
4n
π
Z
0
q(t)dt ±
π
8n
q
a
2
2n
+ b
2
2n
+ O
µ
1
n
2
¶
(3.1.9)
asimptotikalarga ega bo‘lamiz.
Endi (3.1.9) asimptotikadan foydalanib davriy chegaraviy masalaning xos qiy-
matlari uchun
k
2n
, k
2n−1
= 2n +
1
π
δ
±
n
,
p
λ
2n−1
= 2n +
1
4nπ
π
Z
0
q(t)dt −
p
a
2
2n
+ b
2
2n
8n
+ O
µ
1
n
2
¶
,
p
λ
2n
= 2n +
1
4nπ
π
Z
0
q(t)dt +
p
a
2
2n
+ b
2
2n
8n
+ O
µ
1
n
2
¶
(3.1.10)
asimptotikalarni topamiz. Bundan
λ
2n−1
= (2n)
2
+
1
π
π
Z
0
q(t)dt −
p
a
2
2n
+ b
2
2n
2
+ O
µ
1
n
¶
,
145

λ
2n
= (2n)
2
+
1
π
π
Z
0
q(t)dt +
p
a
2
2n
+ b
2
2n
2
+ O
µ
1
n
¶
(3.1.11)
asimptotik formulalar kelib chiqadi.
Yarimdavriy chegaraviy masalaning xos qiymatlari uchun ham asimptotik
formulani xuddi shu usulda topish mumkin.”
Natija 3.1.1. Agar q(x) ∈ C[0, π] haqiqiy, uzluksiz funksiya bo‘lsa, u holda
Xill tenglamasiga qo‘yilgan davriy (antudavriy) masalaning lakunalari uzunliklari
γ
n
≡ λ
2n
− λ
2n−1
(γ
0
n
≡ µ
2n+1
− µ
2n
) uchun ushbu
γ
n
≡ λ
2n
− λ
2n−1
=
p
a
2
2n
+ b
2
2n
+ O
¡
1
n
¢
,
³
γ
0
n
≡ µ
2n+1
− µ
2n
=
q
a
2
2n+1
+ b
2
2n+1
+ O
¡
1
n
¢´
(3.1.12)
asimptotikalar o‘rinli.
Isbot. Xos qiymatlarning (3.1.10) asimptotik formulasidan foydalanib
γ
n
≡ λ
2n
− λ
2n−1
=
³p
λ
2n
−
p
λ
2n−1
´ ³p
λ
2n
+
p
λ
2n−1
´
=
=
"p
a
2
2n
+ b
2
2n
4n
+ O
µ
1
n
2
¶#

4n +
1
2nπ
π
Z
0
q(t)dt + O
µ
1
n
2
¶

 =
q
a
2
2n
+ b
2
2n
+O
µ
1
n
¶
tenglikni topamiz. Xill tenglamasiga qo‘yilgan yarimdavriy masalaning lakunalar
uzunliklari γ
0
n
≡ µ
2n+1
−µ
2n
uchun ham asimptotika xuddi shunday keltirib chiqar-
iladi.
2-§. Lakunalar uzunligini hisoblashga doir misol
Ushbu
˜
q(x) =
½
0, 0 ≤ x ≤ a,
b, a < x < π
funksiyani R sonlar o‘qiga davriy davom qildiraylik, ya’ni q(x) = ˜
q(x), x ∈ [0, π]
va q(x + π) = q(x), x ∈ R shartlarni qanoatlantiruvchi q(x) funksiyani tuzib
olaylik. Bu funksiyaning grafigi b > 0 bo‘lganida quyidagicha bo‘ladi:
Quyidagi
Ly ≡ −y
00
+ q(x)y = λy, x ∈ R
(3.2.1)
Xill tenglamasiga mos keluvchi lakunalar uzunliklarining asimptotikasini o‘rga-
namiz. Lakunalarni (−∞, λ
0
), (λ
2n−1
, λ
2n
), n ≥ 1 orqali belgilasak, ularning
chetki nuqtalari ∆(λ) − 2 = 0 yoki ∆(λ) + 2 = 0tenglamalardan aniqlanadi. Bu
146

Rasm 3:
yerda ∆(λ) = c(π, λ)+s
0
(π, λ). Bunda c(x, λ) va s(x, λ) orqali (3.2.1) tenglaman-
ing c(0, λ) = 1, c
0
(0, λ) = 0 va s(0, λ) = 0, s
0
(0, λ) = 1 boshlang‘ich shartlarni
qanoatlantiruvchi yechimlari belgilangan.
Agar x ∈ [0, a] bo‘lsa, u holda (3.2.1) tenglama y
00
+ λ y = 0 ko‘rinishda
bo‘lib, uning yechimlari
c(x, λ) = cos
√
λx, s(x, λ) =
sin
√
λx
√
λ
bo‘ladi. Agar x ∈ (a, π) bo‘lsa, (3.2.1) tenglama y
00
+ (λ − b) y = 0 ko‘rinishda
bo‘lib, uning umumiy yechimini
y(x, λ) = c
1
cos
√
λ − b(x − a) + c
2
sin
√
λ − b(x − a)
√
λ − b
(3.2.2)
tenglik bilan aniqlash mumkin.
c(x, λ) va s(x, λ) yechimlar va ularning birinchi tartibli hosilalari x = a
nuqtada uzluksizligidan foydalanib, x ∈ [0, π] bo‘lganda
c(x, λ) = cos
√
λa cos
√
λ − b(x − a) −
√
λ
√
λ − b
sin
√
λa sin
√
λ − b(x − a),
(3.2.3)
s(x, λ) =
sin
√
λa
√
λ
cos
√
λ − b(x−a)+
1
√
λ − b
cos
√
λa sin
√
λ − b(x−a) (3.2.4)
tengliklarni topamiz. Bundan
∆(λ) = 2 cos
√
λa cos
√
λ − b(π − a) −
2λ − b
√
λ
2
− λ b
sin
√
λa sin
√
λ − b(π − a),
ya’ni
∆(λ) = 2 cos
h√
λa +
√
λ − b(π − a)
i
−
147

−
³√
λ −
√
λ − b
´
2
√
λ ·
√
λ − b
sin
√
λa sin
√
λ − b(π − a)
(3.2.5)
tenglik kelib chiqadi.
Ushbu
√
λ − b =
√
λ −
b
2
√
λ
+ O(
1
λ
√
λ
), λ → +∞
(3.2.6)
asimptotikaga asosan
³√
λ −
√
λ − b
´
2
√
λ ·
√
λ − b
=
b
2
4λ
2
+ O(
1
λ
3
), λ → +∞
,
(3.2.7)
sin
√
λ − b(π − a) = sin
√
λ(π − a) + O(
1
√
λ
), λ → +∞
(3.2.8)
formulalarga ega bo‘lamiz. Bularni (3.2.5) tenglikka qo‘yib, ushbu
∆(λ) = 2 cos
½
π
√
λ +
b(a − π)
2
√
λ
+ O(
1
λ
√
λ
)
¾
−
−
b
2
4λ
2
sin
√
λa sin
√
λ(π − a) + O(
1
λ
2
√
λ
) , λ → +∞
(3.2.9)
asimptotik formulani olamiz.
Bu formuladan quyidagi qo‘pol baholashlar kelib chiqadi:
∆(λ) = 2 cos
√
λπ + O(
1
√
λ
), λ → +∞ ,
(3.2.10)
∆(λ) = 2 cos
½
π
√
λ +
b(a − π)
2
√
λ
¾
+ O(
1
λ
√
λ
), λ → +∞.
(3.2.11)
(3.2.10) asimptotikaga asosan ∆(λ) − 2 = 0 tenglamani ushbu
sin
√
λπ
2
= O(
1
4
√
λ
)
(3.2.12)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bunga ko‘ra
√
λπ
2
= πn + δ
n
π, δ
n
→ 0,
√
λ = 2n + 2δ
n
, δ
n
→ 0.
(3.2.13)
Agar (3.2.13) ifodani (3.2.12) tenglikka qayta qo‘ysak, δ
n
uchun
sin δ
n
π = O
µ
1
√
n
¶
,
148

ya’ni
δ
n
= O(
1
√
n
)
(3.2.14)
baho hosil bo‘ladi. δ
n
ning bu asimptotikasini aniqlashtiramiz. Buning uchun
∆(λ) − 2 = 0 tenglamani (3.2.11) tenglikga asosan ushbu
sin
(
π
√
λ
2
+
b(a − π)
4
√
λ
)
= O
µ
1
λ
3
4
¶
(3.2.15)
ko‘rinishda yozib olamiz. (3.2.13) ifodani (3.2.15) tenglikga qo‘yib, (3.2.14) asimp-
totikadan foydalansak, quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz:
sin
½
πn + δ
n
π +
b(a − π)
8(n + δ
n
)
¾
= O
µ
1
n
√
n
¶
,
sin
½
πn + δ
n
π +
b(a − π)
8n
+ O
µ
1
n
2
√
n
¶¾
= O
µ
1
n
√
n
¶
,
δ
n
π +
b(a − π)
8n
+ O
µ
1
n
√
n
¶
= O
µ
1
n
√
n
¶
,
δ
n
=
b(π − a)
8π n
+ O
µ
1
n
√
n
¶
, n → +∞.
(3.2.16)
Oxirgi asimptotikani yanada aniqlashtirish maqsadida, ∆(λ) − 2 = 0 tengla-mani
(3.2.9) tenglikdan foydalanib, ushbu
sin
2
(
π
√
λ
2
+
b(a − π)
4
√
λ
+ O
µ
1
λ
√
λ
¶)
=
= −
b
2
16λ
2
sin
√
λa sin
√
λ(π − a) + O(
1
λ
2
√
λ
)
(3.2.17)
ko‘rinishda yozib olamiz va bu tenglikka (3.2.13) ifodani qo‘yamiz hamda
δ
n
= O(
1
n
)
(3.2.18)
baholashdan foydalanib, ushbu
sin
2
½
δ
n
π +
b(a − π)
8n
+ O
µ
1
n
3
¶¾
=
b
2
256n
4
sin
2
2na + O(
1
n
5
)
(3.2.19)
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan ildiz chiqarsak,
sin
½
δ
±
n
π +
b(a − π)
8n
+ O
µ
1
n
3
¶¾
=
±|b sin 2na|
16n
2
+ O
µ
1
n
5
2
¶
(3.2.20)
149

asimptotika hosil bo‘ladi. (3.2.18) va (3.2.20) asimptotikalarga asosan
δ
±
n
π +
b(a − π)
8n
+ O
µ
1
n
3
¶
=
±|b sin 2na|
16n
2
+ O
µ
1
n
5
2
¶
,
δ
±
n
π =
b(a − π)
8n
±
|b sin 2na|
16π n
2
+ O
µ
1
n
2
√
n
¶
(3.2.21)
baholashga ega bo‘lamiz. Demak, ∆(λ) − 2 = 0 tenglamaning ildizlari uchun
ushbu
p
λ
4n−1
,
p
λ
4n
= 2n + 2δ
±
n
, n → ∞
(3.2.22)
asimptotik formula o‘rinli. Bunga binoan
λ
4n
− λ
4n−1
= 8n
¡
δ
+
n
− δ
−
n
¢
+ 4
¡
δ
+
n
+ δ
−
n
¢ ¡
δ
+
n
− δ
−
n
¢
(3.2.23)
tenglik hosil bo‘ladi. Quyidagi
δ
+
n
− δ
−
n
=
|b sin 2na|
8πn
2
+ O
µ
1
n
2
√
n
¶
,
δ
+
n
+ δ
−
n
=
b(π − a)
4πn
+ O
µ
1
n
2
√
n
¶
ifodalarga asosan ushbu
λ
4n
− λ
4n−1
=
|b sin 2na|
πn
+ O
µ
1
n
√
n
¶
(3.2.24)
tenglikni olamiz.
Endi, λ
4n+2
− λ
4n+1
ayirma asimptotikasini topish bilan shug‘ullanamiz. Bu
yerda λ
4n+1
, λ
4n+2
, n ≥ 0lar orqali ∆(λ) + 2 = 0 tenglamaning ildizlari o‘sib bor-
ish tartibida belgilangan. Xuddi oldingidek, (3.2.10) va (3.2.11) asimptotikadan
foydalanib,
√
λ = 2n + 1 + 2β
n
, β
n
→ 0,
(3.2.25)
β
n
= O(
1
n
)
(3.2.26)
tengliklarga ega bo‘lamiz. (3.2.9), (3.2.25) va (3.2.26) asimptotikalardan
sin
½
β
±
n
π +
b(a − π)
4(2n + 1)
+ O
µ
1
n
3
¶¾
=
±|b sin(2n + 1)a|
4(2n + 1)
2
+ O
µ
1
n
2
√
n
¶
,
β
±
n
=
b(a − π)
4π(2n + 1)
±
|b sin(2n + 1)a|
4π(2n + 1)
2
+ O
µ
1
n
2
√
n
¶
(3.2.27)
baholash kelib chiqadi. Ushbu
p
λ
4n+1
,
p
λ
4n+2
= 2n + 1 + 2β
±
n
, n → ∞
(3.2.28)
150

tenglikka ko‘ra
λ
4n+2
− λ
4n+1
= 4(2n + 1)
¡
β
+
n
− β
−
n
¢
+ 4
¡
β
+
n
+ β
−
n
¢ ¡
β
+
n
− β
−
n
¢
(3.2.29)
tenglik hosil bo‘ladi. Quyidagi
β
+
n
− β
−
n
=
|b sin(2n + 1)a|
2π(2n + 1)
2
+ O
µ
1
n
2
√
n
¶
,
β
+
n
+ β
−
n
=
b(π − a)
2π(2n + 1)
+ O
µ
1
n
2
√
n
¶
ifodalarga asosan
λ
4n+2
− λ
4n+1
=
2|b sin(2n + 1)a|
(2n + 1)π
+ O
µ
1
n
√
n
¶
(3.2.30)
tenglikni olamiz. (3.2.24) va (3.2.30) formulalarni birlashtirib, ushbu
λ
2n
− λ
2n−1
=
2|b sin na|
πn
+ O
µ
1
n
√
n
¶
, n → ∞
baholashni olamiz.
Mustaqil yechish uchun mashqlar
1) ava b parametrlarning qanday qiymatlarida (3.2.1) Xill tenglamasi “yopil-
gan” lakunaga ega bo‘lmaydi?
2) ava b parametrlarning qanday qiymatlarida (3.2.1) Xill tenglamasi faqat
bitta “yopilgan” lakunaga ega bo‘ladi?
3) Yuqoridagi masalani ushbu
˜
q(x) =



0, 0 ≤ x < a
1
,
b
1
, a
1
≤ x ≤ a
2
,
b
2
, a
2
≤ x < π
holda yeching. Bu yerda 0 < a
1
< a
2
< π.
4) Yuqoridagi masalani q(x) = sign{cos 2x} bo‘lgan holda yeching.
3-§. Shturm-Liuvill tenglamasi yechimining asimptotikasi haqida
Ushbu
−y
00
+ q(x)y =