Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

− ∆
2
(λ)] = R(λ)
∞
Y
j=N +1
µ
1 −
λ
ξ
j
¶
2
,
− c
0
(π, λ, t) = S(λ, t)
∞
Y
j=N +1
µ
1 −
λ
ξ
j
¶
,
s(π, λ) = P (λ)
∞
Y
j=N +1
µ
1 −
λ
ξ
j
¶
, s(π, λ, t) = P (λ, t)
∞
Y
j=N +1
µ
1 −
λ
ξ
j
¶
, (2.5.25)
130

1
2
[s
0
(π, λ, t) − c(π, λ, t)] = Q(λ, t)
∞
Y
j=N +1
µ
1 −
λ
ξ
j
¶
tengliklarni yozishimiz mumkin. Bu yerda Q(λ, t) - darajasi N dan oshmaydi-
gan ko‘phad. (2.5.25) munosabatlardan foydalanib, Floke yechimining (2.5.13)
ko‘rinishini ushbu
ψ
±
(t, λ) =
s
P (λ, t)
P (λ)
exp



∓i
t
Z
0
R(λ)
P (λ, τ )
dτ



(2.5.26)
shaklda yozishimiz mumkin. Bunda
P (λ, t) =
N
Q
j=1
(λ − ξ
j
(t)),
P (λ) =
N
Q
j=1
(λ − ξ
j
),
R(λ) =
2N
Q
j=1
(λ − λ
j
),
S(λ, t) =
N
Q
j=0
(λ − τ
j
(t)).
(2.5.27)
Demak, N-zonali potensial holida (2.5.4) siljigan argumentli Xill tenglamasining
Veyl-Titchmarsh funksiyasi uchun
m
±
(λ, t) =
Q(λ, t)
P (λ, t)
∓ i
p
R(λ)
P (λ, t)
(2.5.28)
formula o‘rinli bo‘lar ekan. Endi (2.5.25) tasvirlarni ushbu
−s(π, λ, t)c
0
(π, λ, t) ==
1
4
[4 − ∆
2
(λ)] +
1
4
[s
0
(π, λ, t) − c(π, λ, t)]
2
ayniyatga qo‘yib
P (λ, t)S(λ, t) − Q
2
(λ, t) = R(λ)
(2.5.29)
tenglikni hosil qilamiz
6-§. Xill operatori xos funksiyalarining kvadratlari uchun ayniyat
Ushbu
Ly ≡ −y
00
+ q(x)y = λy, x ∈ R
(2.6.1)
Xill tenglamasini qaraylik. Bu yerda q(x) - haqiqiy, uzluksiz differensiallanuvchi,
π davrli funksiya.
Quyidagi
½
−y
00
+ q(x)y = λy, x ∈ [0, π],
y(0) = y(π), y
0
(0) = y
0
(π)
(2.6.2)
131

davriy va
½
−y
00
+ q(x)y = λy, x ∈ [0, π],
y(0) = −y(π), y
0
(0) = −y
0
(π)
(2.6.3)
yarimdavriy chegaraviy masalalarning xos qiymatlarini mos ravishda
λ
0
< λ
3
≤ λ
4
< ... < λ
4n−1
≤ λ
4n
< ...
va
λ
1
≤ λ
2
< λ
5
≤ ... < λ
4n+1
≤ λ
4n+2
< ...
orqali belgilaymiz. (2.6.2) davriy chegaraviy masalaning ortonormallangan xos
funksiyalarini
y
0
(x), y
3
(x), y
4
(x), ..., y
4n−1
(x), y
4n
(x), ...
orqali, (2.6.3) yarimdavriy chegaraviy masalaning ortonormallangan xos
funksiyalarini esa
y
1
(x), y
2
(x), y
5
(x), ..., y
4n+1
(x), y
4n+2
(x), ...
orqali belgilaymiz.
Agar biz ortonormallangan xos funksiyalar kvadratlaridan tuzilgan ushbu
∞
X
k=0
y
2
2k
(x)
funksional qatorni qarasak, u shubhasiz uzoqlashuvchidir. Endi biz “Ixtiyoriy
haqiqiy, uzluksiz, π davrli q(x) funksiya uchun ushbu
∞
X
k=0
a
k
y
2
2k
(x) = 1
ayniyatni qanoatlantiruvchi a
k
, k ≥ 0 sonlar mavjudmi?” degan savolga
javob beramiz. Bu savolga ilk bor X.P.Makkin, E.Trubovis [195], P.Deyft,
E.Trubovislarning [83] ilmiy ishlarida javob berilgan. Bu paragrafda yuqorida-
gi ayniyatning sodda isbotini keltiramiz.
(2.6.1) differensial tenglamaning c(0, λ) = 1, c
0
(0, λ) = 0 va s(0, λ) = 0,
s
0
(0, λ) = 1 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini mos ravishda
c(x, λ) va s(x, λ) lar orqali belgilaymiz.
Ushbu
−y
00
+ q(x + t)y = λy, x ∈ R, t ∈ R
(2.6.4)
siljigan argumentli Xill tenglamasining c(0, λ, t) = 1, c
0
(0, λ, t) = 0 va s(0, λ, t) =
0, s
0
(0, λ, t) = 1 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini c(x, λ, t)
va s(x, λ, t) orqali belgilaymiz.
132

Lemma 2.6.1. λ
n
- davriy yoki yarimdavriy chegaraviy masalaning xos qiy-
mati bo‘lib, y
n
(x) unga mos keluvchi normallangan xos funksiya bo‘lsin. U holda
quyidagi tengliklar o‘rinli:
s(π, λ
n
, t) = −∆
0
(λ
n
)y
2
n
(t), n ≥ 0,
(2.6.5)
c
0
(π, λ
n
, t) = ∆
0
(λ
n
)y
0
n
2
(t), n ≥ 0.
(2.6.6)
Isbot. (2.5.9) ayniyatni hisobga olib, ushbu
∆
0
(λ) =
π
Z
0
{c
0
(π, λ)s
2
(t, λ) + [c(π, λ) − s
0
(π, λ)]c(t, λ)s(t, λ) − s(π, λ)c
2
(t, λ)} dt
formulani quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz
∆
0
(λ) = −s(π, λ)
π
Z
0
ψ
+
(t, λ)ψ
−
(t, λ) dt.
(2.6.7)
Agar λ
n
xos qiymat karrali bo‘lsa, u holda (2.6.5) va (2.6.6) munosabatlarn-
ing bajarilishi ravshan. Shuning uchun λ
n
oddiy xos qiymat bo‘lgan holni ko‘rib
chiqamiz. Floke yechimlarining xossalariga asosan ushbu
ψ
+
(t, λ
n
) = ψ
−
(t, λ
n
), y
n
(t) =
1
α
n
ψ
±
(t, λ
n
), α
2
n
=
π
Z
0
ψ
2
±
(t, λ
n
)dt
tengliklar bajariladi. Bunga ko‘ra (2.6.7) tenglikdan
∆
0
(λ
n
) = −s(π, λ
n
)α
2
n
(2.6.8)
tenglik kelib chiqadi. Agar (2.5.9) va (2.5.10) ayniyatlarda λ = λ
n
desak, hamda
ψ
±
(t, λ
n
) = α
n
y
n
(t) tenglikni e’tiborga olsak, ushbu
s(π, λ
n
)α
2
n
y
2
n
(t) = s(π, λ
n
, t),
(2.6.9)
s(π, λ
n
)α
2
n
y
0
n
2
(t) = −c
0
(π, λ
n
, t)
(2.6.10)
tengliklarni hosil qilamiz. Bu yerda (2.6.8) formulani qo‘llasak, (2.6.5) va (2.6.6)
munosabatlar kelib chiqadi.
Teorema 2.6.1. (2.6.2) davriy va (2.6.3) yarimdavriy chegaraviy masalalarn-
ing y
2k
(x), k ≥ 0 ortonormallangan xos funksiyalari uchun ushbu
∞
X
k=0
a
2k
y
2
2k
(t) = 1,
(2.6.11)
133

∞
X
k=0
a
2k
y
0
2k
2
(t) =
1
2
[−q(t) + c + λ
0
]
(2.6.12)
ayniyatlar o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda
a
2k
=
∆
0
(λ
2k
)
f
0
(λ
2k
)
, f (λ) = π(λ
0
− λ)
∞
Y
k=1
λ
2k
− λ
k
2
, c =
∞
X
k=1
(λ
2k
− λ
2k−1
).
(2.6.13)
Isbot. Quyidagi
F (λ) =
s(π, λ, t)
f (λ)
, G(λ) =
c
0
(π, λ, t)
f (λ)
− 1
(2.6.14)
funksiyalarni qaraylik. Bu funksiyalarni yetarli katta radiusli aylana konturi
bo‘yicha integrallaymiz. U holda Koshi teoremasiga asosan, ushbu
Z
|λ|=
(
N +
1
2
)
2
F (λ)dλ = 2πi
N
X
k=0
res
λ=λ
2k
F (λ),
(2.6.15)
Z
|λ|=
(
N +
1
2
)
2
G(λ)dλ = 2πi
N
X
k=0
res
λ=λ
2k
G(λ)
(2.6.16)
tengliklarning bajarilishi ravshan. Avvalo, qoldiqlarni hisoblaymiz:
res
λ=λ
2k
F (λ) = lim
λ→λ
2k
(λ − λ
2k
)F (λ) =
s(π, λ
2k
, t)
f
0
(λ
2k
)
= −
∆
0
(λ
2k
)
f
0
(λ
2k
)
y
2
2k
(t),
(2.6.17)
res
λ=λ
2k
G(λ) = lim
λ→λ
2k
(λ − λ
2k
)G(λ) =
c
0
(π, λ
2k
, t)
f
0
(λ
2k
)
=
∆
0
(λ
2k
)
f
0
(λ
2k
)
y
0
2k
2
(t).
(2.6.18)
Endi (2.6.15) va (2.6.16) tengliklarda N → ∞ da limitga o‘tish maqsadida
bu tengliklar chap tomonidagi integrallarda λ = Re
iϕ
, 0 ≤ ϕ ≤ 2π almashtirish
bajaramiz, bunda R =
¡
N +
1
2
¢
2
. Natijada, ushbu
I
N
=
Z
|λ|=
(
N +
1
2
)
2
F (λ)dλ = i
2π
Z
0
F (Re
iϕ
)Re
iϕ
dϕ,
(2.6.19)
J
N
=
Z
|λ|=
(
N +
1
2
)
2
G(λ)dλ = i
2π
Z
0
G(Re
iϕ
)Re
iϕ
dϕ
(2.6.20)
integrallar kelib chiqadi.
134

Quyidagi [328, 83-92 bet]
s(π, λ, t) = π
∞
Y
k=1
ξ
k
(t) − λ
k
2
, c
0
(π, λ, t) = π(η
0
(t) − λ)
∞
Y
k=1
η
k
(t) − λ
k
2
yoyilmalardan foydalanib, F (λ) va G(λ) funksiyalarning asimptotikalarini
o‘rganamiz:
F (λ) =
s(π, λ, t)
f (λ)
=
1
λ
0
− λ
v
u
u
t
∞
Y
k=1
λ − λ
2k−1
λ − λ
2k
v
u
u
t
∞
Y
k=1
λ − ξ
k
(t)
λ − λ
2k−1
·
λ − ξ
k
(t)
λ − λ
2k
=
=
1
λ
0
− λ
v
u
u
texp
(
∞
X
k=1
ln
µ
1 +
λ
2k
− λ
2k−1
λ − λ
2k
¶)
×
×
v
u
u
texp
(
∞
X
k=−1
ln
·
1 +
λ
2k−1
− ξ
k
(t)
λ − λ
2k−1
+
λ
2k
− ξ
k
(t)
λ − λ
2k
+
(λ
2k−1
− ξ
k
(t))(λ
2k
− ξ
k
(t))
(λ − λ
2k−1
)(λ − λ
2k
)
¸)
=
=
1
λ
0
− λ
v
u
u
texp
(
1
λ
∞
X
k=1
(λ
2k
− λ
2k−1
) + O
µ
1
λ
2
¶)
×
×
v
u
u
texp
(
1
λ
∞
X
k=1
(λ
2k−1
+ λ
2k
− 2ξ
k
(t)) + O
µ
1
λ
2
¶)
, |λ| → ∞.
(2.6.21)
c
0
(π, λ, t)
f (λ)
=
η
0
(t) − λ
λ
0
− λ
v
u
u
t
∞
Y
k=1
λ − λ
2k−1
λ − λ
2k
v
u
u
t
∞
Y
k=1
λ − η
k
(t)
λ − λ
2k−1
·
λ − η
k
(t)
λ − λ
2k
=
=
η
0
(t) − λ
λ
0
− λ
v
u
u
texp
(
∞
X
k=1
ln
µ
1 +
λ
2k
− λ
2k−1
λ − λ
2k
¶)
×
×
v
u
u
texp
(
∞
X
k=−1
ln
·
1 +
λ
2k−1
− η
k
(t)
λ − λ
2k−1
+
λ
2k
− η
k
(t)
λ − λ
2k
+
(λ
2k−1
− η
k
(t))(λ
2k
− η
k
(t))
(λ − λ
2k−1
)(λ − λ
2k
)
¸)
=
=
1 −
η
0
(t)
λ
1 −
λ
0
λ
v
u
u
texp
(
1
λ
∞
X
k=1
(λ
2k
− λ
2k−1
) + O
µ
1
λ
2
¶)
×
×
v
u
u
texp
(
1
λ
∞
X
k=1
(λ
2k−1
+ λ
2k
− 2η
k
(t)) + O
µ
1
λ
2
¶)
, |λ| → ∞.
(2.6.22)
135

Ushbu [IV bobning 4-§ga qarang]
q(t) = λ
0
+
∞
X
k=1
(λ
2k−1
+ λ
2k
− 2ξ
k
(t)),
−q(t) = λ
0
− 2η
0
(t) +
∞
X
k=1
(λ
2k−1
+ λ
2k
− 2η
k
(t))
izlar formulalarini hamda quyidagi belgilashni
c =
∞
X
k=1
(λ
2k
− λ
2k−1
)
hisobga olsak, (2.6.21) va (2.6.22) tengliklardan
F (λ) = −
1
λ
·
½
1 +
λ
0
λ
+ O
µ
1
λ
2
¶¾
·
½
1 +
1
2λ
c + O
µ
1
λ
2
¶¾
×
×
½
1 +
1
2λ
[q(t) − λ
0
] + O
µ
1
λ
2
¶¾
=
= −
1
λ
·
½
1 +
1
2λ
[q(t) + c + λ
0
] + O
µ
1
λ
2
¶¾
, |λ| → ∞,
(2.6.23)
G(λ) =
½
1 +
λ
0
− η
0
(t)
λ
+ O
µ
1
λ
2
¶¾
·
½
1 +
1
2λ
c + O
µ
1
λ
2
¶¾
×
×
½
1 +
1
2λ
[2η
0
(t) − q(t) − λ
0
] + O
µ
1
λ
2
¶¾
− 1 =
=
1
2λ
[−q(t) + c + λ
0
] + O
µ
1
λ
2
¶
, |λ| → ∞,
(2.6.24)
asimptotik formulalar kelib chiqadi. Agar (2.6.23) va (2.6.24) baholashlarni ino-
batga olsak, (2.6.19) va (2.6.20) integrallar uchun ushbu
I
N
= −i
2π
Z
0
½
1 + O
µ
1
R
¶¾
dϕ = −2πi + O
µ
1
N
2
¶
, N → ∞,
J
N
= i
2π
Z
0
½
1
2
[−q(t) + c + λ
0
] + O
µ
1
R
¶¾
dϕ = [−q(t) + c + λ
0
]πi + O
µ
1
N
2
¶
, N → ∞
asimptotikalar hosil bo‘ladi. Bu asimptotikalarni hisobga olib, (2.6.15) va (2.6.16)
tengliklarda limitga o‘tsak,
−
∞
X
k=0
res
λ=λ
2k
F (λ) = 1,
136

∞
X
k=0
res
λ=λ
2k
G(λ) =
1
2
[−q(t) + c + λ
0
]
kelib chiqadi. (2.6.17) va (2.6.18) ifodalarni bu ayniyatlarga qo‘yib,
∞
X
k=0
∆
0
(λ
2k
)
f
0
(λ
2k
)
y
2
2k
(t) = 1,
∞
X
k=0
∆
0
(λ
2k
)
f
0
(λ
2k
)
y
0
2k
2
(t) =
1
2
[−q(t) + c + λ
0
]
ekanligini topamiz. Shunday qilib, (2.6.11) va (2.6.12) ayniyatlar isbotlandi.
Teorema 2.6.1 isbotining ikkinchi usuli. Bu usul Mittag-Leffler teore-
masiga asoslanadi. Avvalo, ushbu
F (λ) =
s(π, λ, t)
f (λ)
, G(λ) =
c
0
(π, λ, t)
f (λ)