Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

q(x) haqiqiy funksiya
∞
Z
0
(1 + x)|q(x)|dx < ∞
(13)
shartni qanoatlantirsin. U holda (12) chegaraviy masaladagi differensial
tenglamaning ushbu
ϕ(x, k) = M(k) sin(kx + δ(k)) + o(1),
x → +∞
(13
0
)
asimptotikaga ega bo‘lgan ϕ(x, k) yechimi mavjud bo‘ladi. Bu yerdagi δ(k)
funksiyaga sochilish fazasi deyiladi.
Sochilish nazariyasining teskari masalasi ilk bor 1949-yilda N.Levinson
tomonidan o‘rganilgan.
Teorema (1949-yil, N.Levinson). Agar (12) chegaraviy masala (13) shart
bajarilganda manfiy xos qiymatlarga ega bo‘lmasa, u holda uning δ(k) sochilish
fazasi q(x) potensialni yagona aniqlaydi.
Umuman olganda, (12)+(13) chegaraviy masalaning spektri cheklita manfiy
xos qiymatlar va musbat o‘qning birlashmasidan iborat bo‘ladi. Bu xos qiymat-
larni λ
j
, j = 1, n, va ularga mos keluvchi xos funksiyalarni ψ
j
(x), j = 1, n, ham-
da normallovchi o‘zgarmaslarni m
j
=
∞
R
0
ψ
2
j
(x)dx, j = 1, n orqali belgilaymiz.
1949-yilda V.Bargman q(x) potensial sochilish fazasi δ(k) orqali yagona
aniqlanmasligiga doir bir nechta misollar tuzdi, ya’ni har xil Shturm-Liuvill op-
eratori bir xil spektrga va sochilish fazasiga ega bo‘lishi mumkinligini ko‘rsatdi.
1950-yilda V.A.Marchenko bu muammoni hal qildi, ya’ni sochilish
nazariyasining
berilganlari
sifatida
ushbu
©
δ(k), λ
j
, m
j
, j = 1, n
ª
to‘plamni olish kerakligini ko‘rsatib berdi. Sochilish nazariyasining berilganlari
©
δ(k), λ
j
, m
j
, j = 1, n
ª
yordamida teskari masalani yechish jarayonidagi
yagonalik teoremasi ham V.A.Marchenko yagonalik teoremasining xususiy
holidir.
1953-yilda sochilish nazariyasining berilganlari yordamida Shturm-Liuvill
operatori potensialini tiklash masalasiga R.Jost va W.Kohn tomonidan
Gelfand-Levitan usuli tatbiq qilindi. Ammo bu usulda topilgan q(x) =
2K
0
(x, x) potensialni (13) shartni qanoatlantirishini tekshirish va ushbu
ϕ(x, k) =
sin kx
k
+
x
Z
0
K(x, t)
sin kt
k
dt
formula orqali topilgan ϕ(x, k) to’lqin funksiyasini (13
0
) shartni qanoatlantirishi-
ni tekshirish murakkab masala hisoblanadi. Chunki Gelfand-Levitan integral
tenglamasida x → +∞ da limitga o‘tishning imkoni yo‘q.
10

1953-1955-yillari M.G.Kreyn yarim o‘qda berilgan N.Levinson teoremasin-
ing shartlarini qanoatlantiruvchi Shturm-Liuvill operatori uchun sochilish
nazariyasining teskari masalasini yechishning yangi usulini yaratdi. Bu usul
Gelfand-Levitan usulidan ancha farq qiladi. M.G.Kreyn usulining asosiy g‘oyasi
ushbu
Ly ≡ −y
00
+ q(x)y = k
2
y,
(1 + x)|q(x)| ∈ L
1
(0, ∞)
(14)
Shturm-Liuvill tenglamasini unga ekvivalent bo‘lgan quyidagi
½
y
0
+ A(x)z = iky,
z
0
+ A(x)y = −ikz
(15)
birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi bilan almashtirishdan iborat.
Bu yerda A(x) va q(x) funksiyalar o‘zaro ushbu
q(x) = A
0
(x) + A
2
(x)
Rikkati tenglamasi orqali bog‘langan. (14) Shturm-Liuvill tenglamasining
ϕ(0, k) = 0, ϕ
0
(0, k) = 1 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini
ϕ(x, k) orqali belgilaymiz.
M.G.Kreyn ϕ(x, k) yechimni
ϕ(x, k) =
E(x, k) − E(x, −k)
2ik
ko‘rinishda yozib oladi va y = E(x, k), z = E(x, −k) funksiyalar (15) sistemaning
y(0) = 1, z(0) = 1 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimidan iborat
bo‘lishini hamda
E(x, k) = e
ikx

1 −
2x
Z
0
Γ
2x
(t, 0)e
−ikt
dt


ko‘rinishda tasvirlanishini ko‘rsatadi. Bu yerda
A(x) = 2Γ
2x
(2x, 0).
Bundan tashqari, u Γ
2x
(t, 0) funksiya har bir tayinlangan x > 0 uchun Fredgolm
turidagi
Γ
2x
(t, 0) +
2x
Z
0
H(t − s)Γ
2x
(s, 0)ds = H(t)
(16)
integral tenglamani qanoatlantirishini isbotlaydi. Bu yerda
H(t) =
1
π
∞
Z
0
·
1
|f (k)|
2
− 1
¸
cos ktdk, f (k) = exp



−
1
π
∞
Z
−∞
δ(s)
s − k
ds



.
11

Hozirgi kunda (16) tenglamaga M.G.Kreyn integral tenglamasi deyiladi.
M.G.Kreyn usulining afzallik tomoni shundaki, Shturm-Liuvill tenglamasin-
ing ϕ(x, k) yechimini
ϕ(x, k) =
1
k
ImE(x, k) =
1
k
Im



e
ikx
(1 −
2x
Z
0
Γ
2x
(s, 0)e
−iks
ds)



formula orqali topib, uning x → +∞ dagi asimptotikasining bosh qismini
aniqlash imkoni tug’iladi.
Sochilish nazariyasining berilganlari
©
δ(k), λ
j
, m
j
, j = 1, n
ª
yordamida
teskari masalaning yechimini topish muammosiga yana bir qadam B.Y.Levin
tomonidan 1956-yilda tashlandi. U yuqorida zikr etilgan teskari masala yechi-
mini topish jarayonida kerakli bo‘ladigan almashtirish operatorining ushbu
Xf (x) = f (x) +
∞
Z
x
A(x, t)f (t)dt,
(17)
q(x) = −2
dA(x, x)
dx
ko‘rinishini topishga muvaffaq bo‘ldi. Shu yilning o‘zida, V.A.Marchenko bu al-
mashtirish operatorining A(x, t) yadrosiga nisbatan chiziqli integral tenglama
keltirib chiqardi.
Teorema (1956-yil,V.A.Marchenko). Har bir tayinlagan x ∈ (0, ∞) uchun
(17) almashtirish operatorining A(x, t) yadrosi ushbu
A(x, t) + F (x + t) +
∞
Z
x
A(x, s)F (s + t)ds = 0, (t > x)
chiziqli integral tenglamani qanoatlantiradi. Bu yerda
F (x) =
n
X
j=1
1
m
j
e
−χ
j
x
+
1
2π
∞
Z
−∞
[1 − S(k)]e
ikx
dk,
S(k) = e
2iδ(k)
,
λ
j
= −χ
2
j
,
j = 1, n.
Bu tenglama hozirgi kunda Marchenko integral tenglamasi nomi bilan mash-
hur.
Bundan tashqari V.A.Marchenko tomonidan
©
δ(k), λ
j
, m
j
, j = 1, n
ª
to‘plam (12)-(13) ko‘rinishdagi Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining sochilish
nazariyasining berilganlari bo‘lishi uchun zaruriy va yetarlilik shartlari topildi.
12

Yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun sochilish nazariyasin-
ing teskari masalasi L.D.Faddeyevning 1959-yildagi maqolasida yetarlicha to‘liq
yoritilgan.
Chegaraviy shart umumiy, ya’ni y
0
(0) = hy(0) ko‘rinishda bo‘lganda (14)
Shturm-Liuvill tenglamasi uchun sochilish nazariyasining teskari masalasi 1975-
yilda B.M.Levitan tomonidan batafsil o‘rganilgan.
Yuqorida qaralgan sochilish nazariyasining teskari masalasi kompleks qiymat
qabul qiluvchi va |q(x)|e
ε|x|
∈ L
1
(0, ∞), ε > 0 munosabatni qanoatlantiruvchi
q(x) potensiallar sinfida V.Y.Lyanse tomonidan yechilgan.
Navbatdagi teskari masala, bu butun o‘qda berilgan Shturm-Liuvill operatori
uchun sochilish nazariyasining teskari masalasidir. Ushbu
Ly ≡ −y
00
+ q(x)y = k
2
y,
(−∞ < x < ∞)
(18)
Shturm-Liuvill tenglamasini qaraylik. Bu yerda q(x) haqiqiy funksiya bo‘lib,
(1 + x)|q(x)| ∈ L
1
(−∞, ∞)
shartni qanoatlantiradi. Bu shart bajarilganda (18) tenglamaning quyidagi
f (x, k) = e
ikx
+o(1), x → +∞,
f (x, k) = b(k)e
−ikx
+a(k)e
ikx
+o(1), x → −∞,
g(x, k) = e
−ikx
+o(1), x → −∞,
g(x, k) = −b(−k)e
ikx
+a(k)e
−ikx
+o(1), x → ∞
asimptotikalarni qanoatlantiruvchi f (x, k) va g(x, k) yechimlari mavjud bo‘ladi.
Bu yechimlarga Yost yechimlari deyiladi. Yost yechimlari uchun B.Y.Levin tasvir-
lari o‘rinli:
f (x, k) = e
ikx
+
∞
Z
x
A
+
(x, t)e
ikt
dt,
g(x, k) = e
−ikx
+
x
Z
−∞
A
−
(x, t)e
−ikt
dt.
Bu yerdagi A
±
(x, t) yadrolar q(x) potensial bilan quyidagi bog‘lanishga ega:
q(x) = −2
dA
+
(x, x)
dx
,
q(x) = 2
dA
−
(x, x)
dx
.
Qaralayotgan (18) masalaning xos qiymatlari chekli va manfiy bo‘ladi. Bu xos
qiymatlarni λ
j
= −χ
2
j
, χ
j
> 0, j = 1, n orqali, ularga mos keluvchi xos
funksiyalarni ψ
j
(x) = f (x, iχ
j
), j = 1, n orqali va normallovchi o‘zgarmaslarni
m
j
= kψ
j
(x)k
2
orqali belgilaymiz. Ushbu r
+
(k) =
−b(−k)
a(k)
, k ∈ R va r
−
(k) =
b(k)
a(k)
, k ∈ R funksiyalarga mos ravishda o‘ng va chap qaytish koeffitsiyentlari
13

deyiladi. Qaralayotgan holda {r
±
(k), k ∈ R; λ
j
, m
±
j
, j = 1, n} to‘plamga
mos ravishda sochilish nazariyasining o‘ng va chap berilganlari deyiladi. Sochilish
nazariyasining o‘ng yoki chap berilganlari orqali q(x) potensialni topish masalasi-
ga sochilish nazariyasining teskari masalasi deyiladi. Sochilish nazariyasining
bu turdagi teskari masalasi ilk bor I.Key, H.E.Moses, so‘ngra L.D.Faddeyev
tomonidan {r
+
(k), k ∈ R; λ
j
, m
+
j
, j = 1, n} to‘plam koeffitsiyenti (1 +
x)|q(x)| ∈ L
1
(R) shartni qanoatlantiruvchi birorta Shturm-Liuvill operatorining
sochilish nazariyasining berilganlari bo‘lishi uchun zaruriy va yetarlilik shartlari
topildi. Bu teskari masalani yechishda ham (17) ko‘rinishdagi almashtirish oper-
atorining A
±
(x, t) yadrolariga nisbatan olingan chiziqli integral tenglama asosiy
rolni o‘ynaydi.
Teorema (L.D.Faddeyev ). Har bir tayinlagan x ∈ R uchun A
+
(x, t) va
A
−
(x, t) yadrolar mos ravishda quyidagi
A
+
(x, t) + F
+
(x + t) +
∞
Z
x
A
+
(x, s)F
+
(s + t)ds = 0,
(t > x),
(19)
A
−
(x, t) + F
−
(x + t) +
x
Z
−∞
A
−
(x, s)F
−
(s + t)ds = 0,
(t < x)
(20)
chiziqli integral tenglamalarni qanoatlantiradi. Bu yerda
F
±
(x) =
n
X
j=1
1
m
±
j
e
∓χ
j
x
+
1
2π
∞
Z
−∞
r
±
(k)e
ikx
dk.
Hozirgi kunda (19) va (20) tenglamalarga teskari masalaning asosiy inte-
gral tenglamalari yoki Gelfand-Levitan-Marchenko integral tenglamalari deyi-
ladi. Keyinchalik bu masala V.A.Marchenko, B.M.Levitan, P.Deift, E.Trubovis
tomonidan ham batafsil o‘rganilgan. Bu masala kompleks qiymat qabul qiluvchi
va |q(x)|e
ε|x|
∈ L
1
(−∞, ∞), ε > 0 shartni qanoatlantiruvchi potensiallar sinfida
V.A.Blashak tomonidan yechilgan.
Nihoyat, davriy koeffitsiyentli Shturm-Liuvill, ya’ni Xill operatori uchun
to‘g‘ri va teskari masalalar haqidagi ayrim zaruriy ma’lumotlarni bayon qilamiz.
1868-yilda Matye elliptik membrananing tebranish jarayonini o‘rganishni ush-
bu
−y
00
+ 2a cos 2xy = λy, x ∈ R
oddiy differensial tenglamaga keltirdi. Bu yerda a = const, λ = const. Hozir-
gi kunda bu tenglama Matye tenglamasi nomi bilan mashhur. Bundan tashqari
14

matematik fizikaning bir qator masalalari, jumladan, davriy o‘zgaruvchan tarang-
likka ega bo‘lgan torning tebranishini va massasi uzunlik birligi bo‘yicha davriy
taqsimlangan torning tebranishini o‘rganish jarayonlari ham Matye tenglamasiga
keltiriladi. Matye tenglamasining q(x) = 2a cos 2x koeffitsiyenti π davrli haqiqiy
funksiya bo‘lgani uchun u ushbu
−y
00
+ q(x)y = λy, q(x) = q(x + π), x ∈ R
Xill tenglamasining xususiy holi ekanligi ko‘rinib turibdi.
Davriy koeffitsiyentli ikkinchi tartibli bu tenglama 1876 - yilda G.W.Xill,
1980 yilda G.Floke va 1899 - yilda A.Liapunofflar tomonidan o‘rganilgan. Xill
tenglamasidan samoviy mexanikada, kvant mexanikasida, jumladan qattiq jism-
larning kristal tuzilishini modellashtirishda va zamonaviy matematik fizikaning
nochiziqli evolyutsion tenglamalarini integrallashda foydalaniladi. Shu boisdan
bu mavzuning dolzarbligi yanada ortdi.
Shuning uchun kvadrati integrallanuvchi funksiyalarning L
2
(R) fazosida ush-
bu
Hy = −y
00
+ q(x)y = λy, x ∈ R
(21)
Xill operatorini qaraymiz. Bu yerda q(x) - haqiqiy, π davrli funksiya bo‘lib,
q(x) ∈ L
2
(0, π) shartni qanoatlantiradi. c(x, λ) va s(x, λ) orqali (21) tenglaman-
ing c(0, λ) = 1, c
0
(0, λ) = 0 va s(0, λ) = 0, s
0
(0, λ) = 1 boshlang‘ich shartlarni
qanoatlantiruvchi yechimlarini belgilaylik. U holda H operatorning σ(H) spektri
[λ
+
n
, λ
−
n+1
], n ≥ 0 kesmalarning birlashmasidan iborat bo‘ladi:
σ(H) =
∞
∪
n=0
[λ
+
n
, λ
−
n+1
].
Bu kesmalarning chetki nuqtalari
−∞ < λ
+
0
< λ
−
1
≤ λ
+
1
< λ
−
2
≤ λ
+
2
< ...
tengsizliklarni qanoatlantiradi. Ushbu (−∞, λ
+
0
), (λ
−
1
, λ
+
1
), (λ
−
2
, λ
+
2
), ..., (λ
−
n
, λ
+
n
), ...
intervallarga H operatorning lakunalari deyiladi. Lakunalarning chetki nuqtalari,
jumladan,
©
λ
±
2n
ª
∞
n=0
sonlar ushbu
½
−y
00
+ q(x)y = λy, x ∈ [0, π],
y(0) = y(π), y
0
(0) = y
0
(π)
(22)
davriy chegaraviy masalaning,
©
λ
±
2n−1
ª
∞
n=1
sonlar esa ushbu
½
−y
00
+ q(x)y = λy, x ∈ [0, π],
y(0) = −y(π), y
0
(0) = −y
0
(π)
(23)
yarimdavriy (полупериодический, антипериодический) chegaraviy masalaning
xos qiymatlaridan iborat bo‘lishi E.Ch.Titchmarshning monografiyasida keltiril-
gan.
15

E.Ch.Titchmarshning bu monografiyasida ikkinchi tartibli chiziqli oddiy dif-
ferensial tenglamaning bazis yechimlari bo‘yicha ixtiyoriy funksiyani Furye inte-
graliga yoyish masalasi rezolventani kontur bo‘yicha integrallash usuli yordamida
amalga oshirilgan. Bu usul ancha murakkab bo‘lib o‘quvchidan kompleks va funk-
sional analiz fanlaridan chuqur bilim va ko‘nikmaga ega bo‘lishni talab qiladi.
Mazkur qo‘llanmaning ikkinchi bobida Xill operatorining spektral yoyilmasi
ancha sodda usulda, ya’ni B.M.Levitan tomonidan taklif qilingan usulda keltirilib
chiqariladi. Bu usulning afzalligi shundaki, butun o‘qda berilgan Xill tenglamasi
uchun Parseval tengligini keltirib chiqarish maqsadida, avvalo, chekli (a, b) oraliq-
da berilgan Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun olingan Parseval tengligi-
da biror a
k
→ −∞, b
k
→ +∞ ketma-ketlik bo‘yicha limitga o‘tish mumkinligi
asoslanadi.
Yuqorida zikr etilgan Levitan usuli bir-biridan xabarsiz holda K. Yosida va
N.Levinson tomonidan ham qo‘llanilgan.
H operatorning chekli lakunalari uzunliklarini γ
n
= λ
+
n
− λ
−
n
, n ≥ 1 orqali
belgilaylik.
Ta’rif 2. Agar biror nomerdan boshlab, ushbu λ
+
n
= λ
−
n
= ξ
n
tenglik bajar-
ilsa, u holda H operatorning q(x) potensialiga chekli zonali deyiladi. Bu yerda
ξ
n
, n ≥ 1 sonlar ushbu
½
−y
00
+ q(x)y = λy, x ∈ [0, π],
y(0) = 0, y(π) = 0
(24)
Dirixle chegaraviy masalasining xos qiymatlarini bildiradi.
Ta’rif
3.
Ushbu
{ξ
n
}
∞
n=1
sonlar
ketma-ketligi
va
σ
n
≡
sign {s
0
(π, ξ
n
)−
−c(π, ξ
n
)} = ±1,
n ≥ 1 ishoralar ketma-ketligiga H
operatorning spektral parametrlari deyiladi.
Bu yerda c(x, λ) va s(x, λ) orqali (21) tenglamaning c(0, λ) = 1, c
0
(0, λ) = 0
va s(0, λ) = 0, s
0
(0, λ) = 1 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlari
belgilangan.
Ta’rif 4. Spektrning chetki nuqtalari va spektral parametrlardan tashkil top-
gan {λ
+
n−1
, λ
−
n
, ξ
n
, σ
n
= ±1,
n ≥ 1} to‘plamga H operatorning spektral
berilganlari deyiladi.
Xill operatorining spektral berilganlari orqali q(x) potensialini topish
masalasiga teskari spektral masala deyiladi.
Chekli zonali potensiallar holida teskari spektral masala ilk bor 1961-yilda
N.I.Axiezer tomonidan o‘rganilgan. N.I.Axiezer qo‘llagan usulning asosiy bosqich-
laridan biri shundaki, u chekli zonali potensiallar uchun qo‘yilgan teskari spektral
masalani Abel integrallarining teskarilanishi haqidagi Yakobi masalasiga keltira-
di. Xususan, bir zonali potensial holida bu teskari masalani yechish jarayonida
16

N.I.Axiezer ushbu
−y
00
+ 2γ(x)y = λy
Lame tenglamasiga duch keladi. Bu yerda γ(x) funksiya Veyershtrasning elliptik
funksiyasi bo‘lib, u 2ω
1
va 2ω
2
davrlarga ega (Im(